[论文解读] Separation profiles, isoperimetry, growth and compression

Corentin Le Coz, Antoine Gournay|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文通过等周性、增长性和希尔伯特压缩性，建立了图的分离谱的界限，表明对于具有多项式等周性和增长性的图，其分离谱以 $ n $ 的幂次增长，其中阿贝尔群的下界为 $ n / \log(n)^a $ 量级，而具有非平凡 $ L^p $-空间压缩性的群的上界为 $ n / \log(n)^b $ 量级。此外，本文进一步证明，具有指数增长的可解群不可能具有次线性有界幂次的分离谱。

ABSTRACT

We give lower and upper bounds for the separation profile (introduced by Benjamini, Schramm & Timár) for various graphs using the isoperimetric profile, growth and Hilbertian compression. For graphs which have polynomial isoperimetry and growth, we show that the separation profile $\mathrm{Sep}(n)$ is also bounded by powers of $n$. For many amenable groups, we show a lower bound in $n/ \log(n)^a$ and, for any group which has a non-trivial compression exponent in an $L^p$-space, an upper bound in $n/ \log(n)^b$. We show that solvable groups of exponential growth cannot have a separation profile bounded above by a sublinear power function. In an appendix, we introduce the notion of local separation, with applications for percolation clusters of $ \mathbb{Z}^{d} $ and graphs which have polynomial isoperimetry and growth.

研究动机与目标

• 通过等周性和增长性性质，建立图的分离谱的定量界限。
• 将阿贝尔群在 $ L^p $-空间中的压缩指数与分离谱联系起来。
• 分析具有多项式等周性和增长性的图（包括 $ \mathbb{Z}^d $ 的渗滤簇）的分离谱。
• 引入并研究无限图中针对顶点的分离谱的局部变体。
• 证明具有指数增长的可解群不可能具有次线性有界幂次的分离谱。

提出的方法

• 使用切赫常数 $ h(F) $ 定义分离谱为 $ \operatorname{Sep}(n) = \sup_{|F| \leq n} |F| \cdot h(F) $，将其与图的连通性联系起来。
• 应用等周维数假设，推导出具有受控边界体积比的子集序列 $ (F_i) $。
• 通过迭代构造嵌套子集，逐步减小大小并受控等周性，推导出 $ \operatorname{Sep}^v(n) $ 的下界。
• 利用不等式 $ 2h(X) \geq \varepsilon \frac{|\partial X|}{|X|} $，将最小集合的切赫常数与其边界扩张联系起来。
• 基于增长界 $ b_n \leq K_1 n^d $ 和等周界 $ \Lambda(n) \geq K_1 n^{-1/d} $，推导出 $ \operatorname{Sep}(n) $ 的幂律标度。
• 为无限图中顶点中心分析引入局部分离谱 $ \operatorname{Sep}^v_G(n) $，适用于渗滤簇与多项式图。

实验结果

研究问题

• RQ1 等周性和增长性如何约束图的分离谱？
• RQ2 阿贝尔群在 $ L^p $-空间中的压缩指数与分离谱之间存在何种关系？
• RQ3 能否利用局部几何性质对 $ \mathbb{Z}^d $ 中渗滤簇的分离谱进行下界估计？
• RQ4 具有指数增长的可解群的分离谱的渐近界是什么？
• RQ5 在具有多项式等周性和增长性的图中，局部分离谱的行为如何？

主要发现

• 对于具有 $ d $-维等周性和 $ d $ 次多项式增长的图，分离谱满足 $ \frac{\operatorname{Sep}(n)}{n} \geq \frac{K_3}{n^{1/d}} $，表明存在幂律下界。
• 对于满足 $ b_n \leq K_1 n^d $ 的多项式增长图，分离谱满足 $ \frac{\operatorname{Sep}(n)}{n} \leq \frac{K_2 \log n}{n^{1/d}} $，表明上界中存在对数修正。
• 对于 $ (d_1, d_2) $-多项式图，局部分离谱满足 $ \operatorname{Sep}^v(n) \geq c n^{(1-\eta) \cdot \frac{d_1^2(d_1 - 1)}{d_2^3}} $，对任意 $ \eta \in (0,1) $，建立了一个非平凡的幂律下界。
• 在 $ \mathbb{Z}^d $ 的超临界渗滤簇中，局部分离谱满足 $ \operatorname{Sep}^x_{\mathcal{C}_\infty}(n) \geq c n^{\frac{d-1}{d}} $，对于距离原点在 $ \exp(n^{(1-\varepsilon)\frac{d}{d-1}}) $ 范围内的顶点成立。
• 具有指数增长的可解群不可能具有任何次线性幂函数上界的分离谱，即 $ \operatorname{Sep}(n) \prec n^\alpha $ 对 $ \alpha < 1 $ 成立。
• 局部分离谱 $ \operatorname{Sep}^v(n) $ 的下界为 $ c' \cdot g(v, |B(v,2n)|)^{\frac{d_1^2 + d_1 - 1}{d_1}} \cdot |B(v,2n)|^{(1-\eta)\alpha} $，其中 $ g $ 衡量局部增长，$ \alpha $ 依赖于 $ d_1, d_2 $。