[论文解读] Sequential change point tests based on U-statistics

Claudia Kirch, Christina Stoehr|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于U-统计量的统一序列变化点检验框架，支持经典的CUSUM与鲁棒的Wilcoxon监控程序。该框架建立了零假设下的渐近分布及在备择假设下的幂为一，通过改进的监控方案提升了对早期和晚期变化的检测能力，经模拟实验和气温数据集验证。

ABSTRACT

We propose a general framework of sequential testing procedures based on $U$-statistics which contains as an example a sequential CUSUM test based on differences in mean but also includes a robust sequential Wilcoxon change point procedure. Within this framework, we consider several monitoring schemes that take different observations into account to make a decision at a given time point. Unlike the originally proposed scheme that takes all observations of the monitoring period into account, we also consider a modified moving-sum-version as well as a version of a Page-monitoring scheme. The latter behave almost as good for early changes while being advantageous for later changes. For all proposed procedures we provide the limit distribution under the null hypothesis which yields the threshold to control the asymptotic type-I-error. Furthermore, we show that the proposed tests have asymptotic power one. In a simulation study we compare the performance of the sequential procedures via their empirical size, power and detection delay, which is further illustrated by means of a temperature data set.

研究动机与目标

• 开发一种基于U-统计量的一般性序列检验框架，用于检测流数据中的结构突变。
• 将经典的CUSUM检验扩展至包含基于Wilcoxon的鲁棒监控，以提升在重尾或污染数据下的性能。
• 在不同变化检测场景下，比较全历史、移动求和与Page监控三种监控方案的表现。
• 推导零假设下的渐近分布，以控制第一类错误率。
• 建立在一般备择假设下的渐近幂为一，确保随着样本量增加，检测概率趋近于一。

提出的方法

• 基于形式为 $ \Gamma(m,k) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=m+1}^{m+k} h(X_i, X_j) $ 的U-统计量，构建序列监控程序，其中 $ h $ 为对称核函数。
• 提出三种监控方案：全历史（原始方案）、移动求和与Page监控，三者在如何加权历史观测值方面存在差异。
• 使用加权检验统计量 $ w(m,k) |\Psi(m,k)| $，并以临界曲线 $ c_\alpha / w(m,k) $ 控制渐近第一类错误在水平 $ \alpha $。
• 应用泛函中心极限定理与Hájek-Rényi型不等式，推导零假设下监控统计量的弱收敛性。
• 采用1-近似函数和绝对平稳性条件，将结果推广至弱相关时间序列。
• 通过证明在备择假设下检验统计量以概率发散，推导出渐近幂为一，确保检测概率趋近于一。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个统一的U-统计量框架，以同时支持经典与鲁棒的序列变化点检验？
• RQ2 在早期与晚期变化场景下，全历史、移动求和与Page监控三种监控方案如何影响检测延迟与统计功效？
• RQ3 在无变化的零假设下，基于U-统计量的监控统计量的渐近分布为何？
• RQ4 所提出的框架在一般备择假设下（包括均值变化与鲁棒备择）是否能达到渐近幂为一？
• RQ5 在实际表现上，基于U-统计量的检验在大小、功效与检测延迟方面如何比较？

主要发现

• 所提出的基于U-统计量的监控框架，通过合理选择临界值 $ c_\alpha $，可控制渐近第一类错误在水平 $ \alpha $，确保推断的有效性。
• 在一般备择假设下，该检验达到渐近幂为一，即随着历史样本量增加，检测到变化的概率趋近于一。
• 对于晚期变化，Page监控与移动求和方案优于原始全历史方案，而在早期变化下性能相当。
• 基于鲁棒Wilcoxon的监控程序在相同渐近框架下被证明有效，将事后鲁棒方法扩展至序列检测。
• 模拟结果表明，经验大小接近名义水平 $ \alpha $，功效较高，且在某些场景下相比经典CUSUM检测延迟更小。
• 气温数据集的应用展示了实际效用，表明该方法能比标准方法更早、更可靠地检测到结构变化。