[论文解读] Sequential periods of the crystalline Frobenius

Julian Rosen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文引入了序列 p-进周期——即对所有素数进行索引的 p-进周期——作为研究 de Rham 上同调上晶体 Frobenius 作用的新框架。它提出了 Grothendieck 周期猜想的动机类比，证明了序列周期映射的单射性蕴含某些上同调类的代数性，并将该猜想与有限多重 zeta 值之间的关系及模 p 的伯努利数联系起来。

ABSTRACT

There is a notion of $p$-adic period coming from the crystalline Frobenius automorphism of the de Rham cohomology of an algebraic variety. In this paper, we consider sequences of $p$-adic periods, one for each prime. We study the sequences using motivic periods, and we formulate an analogue of the Grothendieck period conjecture.

研究动机与目标

• 开发由 de Rham 上同调上的晶体 Frobenius 作用导出的序列 p-进周期的动机理论。
• 在序列周期的背景下，提出 Grothendieck 周期猜想的猜想类比。
• 建立该猜想与已知算术现象（如伯努利数的同余关系及有限多重 zeta 值之间的关系）之间的联系。
• 探讨该猜想对动机周期结构及完成周期环上伽罗瓦作用的影响。

提出的方法

• 构建环 $\mathcal{R} = \prod_p \mathbb{Q}_p / \bigoplus_p \mathbb{Q}_p$，以参数化所有大素数上的 p-进周期序列。
• 将序列 Frobenius 映射 $F_{\mathcal{R},X}$ 定义为 $H_{dR}(X) \otimes \mathcal{R}$ 上的 $\mathcal{R}$-线性自同构，编码每个素数处的晶体 Frobenius。
• 引入序列周期映射 $\mathrm{per}_{\mathcal{R}}: \mathcal{P}^{\mathfrak{dr}} \to \mathcal{R}$，将动机 de Rham 周期映射到其 $\mathcal{R}$-值实现。
• 提出两个猜想：猜想 1（$\mathrm{per}_{\mathcal{R}}$ 的单射性）与猜想 2（匹配霍奇滤过层的滤过嵌入性质）。
• 将猜想应用于混合 Tate 动机范畴 $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ 与 $\mathcal{MT}(\mathbb{Q})$，将其与有限多重 zeta 值及伯努利数联系起来。
• 利用 Jarossay 公式与 Yasuda 的结果，将 $\mathrm{per}_{\mathcal{R}}$ 与 MHS 代数关联，并证明有限 MZVs 满足与动机对称化 MZVs 模 $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ 相同的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 序列周期在 $\mathcal{R}$-值映射中何时相等？
• RQ2 何时一个序列周期对所有充分大的 $p$ 可被 $p^n$ 整除，这反映了何种动机结构？
• RQ3 有限多重 zeta 值满足何种关系，它们与模 $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ 的动机周期有何关联？
• RQ4 序列周期映射的单射性与上同调类的代数性之间有何关系？
• RQ5 若 $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ 的猜想 2 成立，能否通过其描述 MHS 代数上的伽罗瓦作用？

主要发现

• 猜想 1 蕴含：若对除有限多个 $p$ 外的所有 $p$ 都有 $F_{p,X}(\alpha) = p^n \beta$，则 $\alpha$ 是代数的，前提是接受代数循环的标准猜想。
• 猜想 1 蕴含：对于满足定义 3.1 公理的任何 Tannakian 动机范畴，Ogus 实现是一个完全忠实的嵌入。
• 若 $\mathcal{MT}(\mathbb{Q})$ 满足猜想 2，则有限多重 zeta 值满足其动机对应物模 $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ 所满足的所有关系。
• 有限 MZVs 恰好满足与动机对称化 MZVs 模 $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ 相同的关系，当且仅当 $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ 的猜想 2 成立，从而建立了深刻的等价性。
• $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ 的 $\widehat{\mathcal{R}}$-值周期环即为 MHS 代数，其定义为形式为 $\sum_n a_n \mathbf{p}^{b_n} H_{\mathbf{p}-1}(\underline{\mathbf{s}}_n)$ 的级数，其中 $b_n \to \infty$，且在猜想 2 成立时，该环可上拉至 $\widehat{\mathcal{P}}^{\mathfrak{dr}}$。
• 提供了一种算法（含实现），用于判断对大素数 $p$ 是否有 $a_p \equiv b_p \mod p^n$，或猜想 2 是否蕴含无穷多组例外。