[论文解读] Serre-Tate theory for Shimura varieties of Hodge type

Ananth N. Shankar, Zhou Rong|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过证明$μ$-平凡点的形式邻域具有'移位级联'结构、存在由$G$-自同构完全提升表征的典范提升，并具有稠密的CM点，将Serre-Tate理论推广至霍奇型希米亚瓦。结果利用$G$-结构与Fontaine–Laffaille理论，将经典典范提升与形式群结构推广至非PEL、非平凡情形。

ABSTRACT

We study the formal neighbourhood of a point in $μ$-ordinary locus of an integral model of a Hodge type Shimura variety. We show that this formal neighbourhood has a structure of a shifted cascade. Moreover we show that the CM points on the formal neighbourhood are dense and that the identity section of the shifted cascade corresponds to a lift of the abelian variety which has a characterization in terms of its endomorphisms in analogy with the Serre-Tate canonical lift of an ordinary abelian variety.

研究动机与目标

• 将Serre-Tate理论从平凡阿贝尔簇推广至霍奇型希米亚瓦。
• 以'移位级联'结构表征$μ$-平凡点的形式邻域。
• 证明存在一种$G$-结构的$p$-可除群的典范提升，其$G$-自同构可被完全提升。
• 建立$μ$-平凡点形式邻域中CM点的稠密性。
• 利用群论与$ p $-进霍奇理论工具，将平凡阿贝尔簇的形式环面结构推广至非平凡、非PEL的希米亚瓦。

提出的方法

• 引入并使用$F$-晶体上的$G$-结构，将形变理论推广至非PEL型情形。
• 应用Fontaine–Laffaille理论计算希米亚瓦的$\mathcal{O}_L$-点，并分析$p$-可除群。
• 利用整模型的光滑性，将局部性质约化为$\mathcal{O}_L$-点条件。
• 通过迭代修改$p$-可除群的斜率滤子，在形式邻域上构造'移位级联'结构。
• 通过乘法$p^{\lambda_k' - \lambda_{k-1}'}$定义并分析$p$-可除形式群$\mathscr{H}(k)$，以保持斜率滤子。
• 利用同态$\zeta_1$与$\eta_1$关联扭点上的纤维，并证明纤维中扭点的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Serre–Tate典范提升能否推广至霍奇型希米亚瓦上具有$G$-结构的$p$-可除群？
• RQ2 霍奇型希米亚瓦上$μ$-平凡点的形式邻域是否具有类似于形式环面的结构？
• RQ3 在$p$-进设定下，$μ$-平凡点形式邻域中CM点是否稠密？
• RQ4 当霍奇折线非斜率0与1时，具有$G$-结构的$p$-可除群的形变空间如何描述？
• RQ5 $G$-自同构在非平凡、非PEL情境下表征典范提升时起何作用？

主要发现

• $μ$-平凡点$x$在霍奇型希米亚瓦上的形式邻域$\widehat{U}_x$具有唯一的'移位子级联'结构。
• 在$\widehat{U}_x$中存在唯一的$\mathcal{O}_L$-点$\tilde{x}$，其提升$x$并扩展$\mathcal{A}_x$的所有$G$-自同构，从而推广了Serre–Tate典范提升。
• 在$\operatorname{Def}_{(a,b)}(\mathcal{O}_L)$中，扭点$x$上的纤维$F_x$是$p$-可除形式群的陪集，因此具有稠密的扭点集。
• 映射$\eta_1: \operatorname{Def}_{(a,b)} \to \operatorname{Def}(\mathscr{G}_{(a,b)})$通过包含关系$\operatorname{Def}_{(a,b)} \subset \operatorname{Def}(\mathscr{G}_{(a,b)})$分解，确保滤子的相容性。
• 当$p$-可除群具有两个斜率时，移位级联退化为$p$-可除形式群，从而恢复了两斜率情形下的已知结果。
• 通过$p$-可除形式群的结构与纤维中扭点的行为，确立了$\widehat{U}_x$中CM点的稠密性。