[论文解读] Towards a theory of local Shimura varieties

Michael Rapoport, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 86被引用 82

一句话总结

本文倡导建立$p$-进局部Shimura簇的理论——即与局部Shimura数据$(G,[b],\{\mu\})$相关联的刚体解析空间塔，扩展了经典全局Shimura簇理论。该理论提出，此类空间以Rapoport-Zink空间为模型，携带$G(\mathbb{Q}_p)$、$J(\mathbb{Q}_p)$与Weil群$W_E$的相容作用，其上同调实现局部Langlands对应，并就$\ell$-进上同调提出若干猜想，包括Kottwitz与Harris猜想。

ABSTRACT

This is a survey article that advertizes the idea that there should exist a theory of p-adic local analogues of Shimura varieties. Prime examples are the towers of rigid-analytic spaces defined by Rapoport-Zink spaces, and we also review their theory in the light of this idea. We also discuss conjectures on the $\ell$-adic cohomology of local Shimura varieties.

研究动机与目标

• 建立$p$-进局部Shimura簇的理论框架，类似于经典全局理论。
• 在更广泛的几何与群论原理下统一Rapoport-Zink空间的理论。
• 就此类局部Shimura簇的$\ell$-进上同调提出猜想，特别是Kottwitz与Harris猜想。
• 探讨$\sigma$-中心化子群$J(\mathbb{Q}_p)$与Weil下降在自守表示上同调实现中的作用。
• 以更内在的、群论的方式重新表述RZ空间的理论，剥离其模形式起源。

提出的方法

• 将局部Shimura数据定义为三元组$(G,[b],\{\mu\})$，并给出关于$\mathbb{Q}_p$上半单群$G$、$\sigma$-共轭类$[b]$与共轭类$\{\mu\}$的公理。
• 将局部Shimura簇定义为定义在$\breve{E}$上的刚体解析空间塔$\{\mathbb{M}^K\}$，并赋予$G(\mathbb{Q}_p)$、$J(\mathbb{Q}_p)$与Weil群$W_E$的相容作用。
• 通过解决具有水平结构的$p$-除子群的模问题的形式概形的通用纤维构造该塔。
• 将周期域$\breve{\mathcal{F}}(G,b,\{\mu\})$作为塔映射的目标，并保持所有群作用的等变性。
• 引入上同调猜想：对基本$[b]$的Kottwitz猜想，以及对非基本$[b]$的Harris猜想。
• 应用完美oid空间与Fargues-Fontaine曲线的理论，可能在通用纤维中直接实现该塔，从而绕过形式概形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否直接将$p$-进局部Shimura簇构造为刚体解析空间塔，而无需先构造形式概形？
• RQ2 此类局部Shimura簇的$\ell$-进上同调群如何通过$G(\mathbb{Q}_p)$、$J(\mathbb{Q}_p)$与$W_E$的联合作用实现局部Langlands对应？
• RQ3 局部Shimura簇的上同调与$p$-进群表示理论之间的确切关系为何，特别是对上连续表示而言？
• RQ4 在何种条件下，局部Shimura簇的上同调按Harris猜想分解，尤其当$[b]$非基本时？
• RQ5 RZ空间的理论能否以完全群论的方式重新解释，独立于其模形式解释？

主要发现

• Kottwitz猜想被提出作为对$[b]$为基本情形时$\ell$-进上同调离散部分的描述，将上同调与离散系列表示联系起来。
• Harris猜想为非基本情形下的上同调提供了归纳公式，表达为对$I_{b,\{\mu\},L}$中$\{\mu'\}_L$的求和，涉及更小的Levi子群的上同调。
• Mantovan的定理8.11证实了对无ramified单整RZ数据的Harris猜想，表明$G$-塔的上同调由$L$-塔的上同调诱导而来。
• 定理8.8表明：若$\{\mu'\} \in I^{G}_{b,\{\mu\},L}$，则$\{\mu'\}_L$的$L$-主导代表等于$\{\mu\}_L$的$L$-主导代表，前提是基本群与$\Gamma$-不变量满足条件。
• 证明了在$RZ$空间上$p$-除子群的斜率过滤存在，足以推出Harris猜想，而此结论现已由Shen的工作在完全一般情形下得到证实。
• 本文纠正了早期文献中的一个错误，指出$|I^{G}_{b,\{\mu\},L}| = 1$在一般情形下不成立，正确的条件应为存在$\{\mu'\}_L \in I_{b,\{\mu\},L}$使得$\mu'_{L-\text{dom}} = \mu_{\text{dom}}$。