[论文解读] Serre Weights for U(n)

Thomas Barnet-Lamb, Toby Gee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文证明了与酉群 $ U(n) $ 上的自守形式相关的某些模 $ l $ 伽罗瓦表示在广义塞尔伯权猜想所预测的多个权中是模形式的。利用自守性提升定理和福尔蒂内-拉菲勒理论，本文在 $ n=3 $ 的情况下，于残representation的分歧与惯性作用满足弱条件时，证明了在显式权中的模性，特别是当 $ l $ 在CM域中完全分裂时。

ABSTRACT

We study the weight part of (a generalisation of) Serre's conjecture for mod l Galois representations associated to automorphic representations on unitary groups of rank n for odd primes l. Given a modular Galois representation, we use automorphy lifting theorems to prove that it is modular in many other weights. We make no assumptions on the ramification or inertial degrees of l. We give an explicit strengthened result when n = 3 and l splits completely in the underlying CM field.

研究动机与目标

• 将塞尔伯猜想的权部分推广至更高秩的酉群 $ U(n) $，特别是 $ n > 2 $ 的情形，此时经典方法因缺乏潜在可对角化提升和非满射约化映射而失效。
• 解决 $ n > 2 $ 时，模 $ l $ 不可约表示不总是可作为特征零代数表示的约化这一挑战，需基于陪集结构建立新框架。
• 为 $ n=3 $ 提供一个具体、可计算的塞尔伯权列表 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $，使得 $ \bar{r} $ 的模性可被保证。
• 在适当条件下——包括分裂分歧、充分图像和权界——证明 $ \bar{r} $ 至少在一个属于 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $ 的权中是模形式的，且给出霍奇-泰特权的显式同余条件。
• 为将权猜想推广至 $ n=3 $ 以上奠定基础，利用福尔蒂内-拉菲勒理论分析经典范围外的晶体表示的约化。

提出的方法

• 利用 [BLGGT14b] 中的自守性提升定理，构造 $ \bar{r} $ 的潜在可对角化提升（假设此类提升存在，为一个在猜想上普遍成立的条件）。
• 应用福尔蒂内-拉菲勒理论分析 $ p $-进伽罗瓦表示模 $ l $ 约化的结构，特别关注在 $ l $ 上方的素点处惯性群的作用及 $ \bar{r}|_{I_{F_w}} $ 的分解类型。
• 基于模 $ l $ 惰性表示的结构和自守提升的霍奇-泰特权，定义一组基于猜想的塞尔伯权集合 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $。
• 利用模 $ l^2 - 1 $、$ l^3 - 1 $ 和 $ l^2 + l + 1 $ 的同余论证，排除所有但一种可能的 $ \bar{r}|_{I_{F_w}} $ 同构类型，证明唯一一致的可能性是 $ F_a \cong F_b $，从而证明模性。
• 采用“一般”塞尔伯权（一个温和条件）以确保自守表示的约化与预期的权结构一致。
• 分析 $ l $ 上方素点处模 $ l $ 表示的层级，区分层级 1、2 和 3，证明每层仅有一种配置与假设的权兼容。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于与酉群 $ U(n) $ 关联的模 $ l $ 伽罗瓦表示 $ \bar{r} $，广义塞尔伯权猜想预测哪些权 $ a $ 是模形式的？
• RQ2 在何种条件下可证明 $ \bar{r} $ 在 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $ 中的某权 $ a $ 是模形式的，特别是当 $ n=3 $ 时？
• RQ3 是否可通过关注约化表示的陪集结构，克服从特征零代数表示到模 $ l $ 不可约表示的约化映射失败的问题？
• RQ4 霍奇-泰特权和惰性作用的同余条件如何限制 $ \bar{r} $ 可能为模形式的塞尔伯权？
• RQ5 福尔蒂内-拉菲勒理论在多大程度上可用于分类高秩情形下经典范围外的晶体表示约化？

主要发现

• 本文证明：若 $ \bar{r} $ 是 $ \operatorname{Gal}(F/F) $ 上的模形式伽罗瓦表示，且具有分裂分歧，$ l $ 在CM域 $ F $ 中完全分裂，则在假设存在潜在可对角化自守提升的前提下，$ \bar{r} $ 至少在一个显式定义的集合 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $ 的权中是模形式的。
• 当 $ n=3 $ 时，集合 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $ 包含满足特定形式的模 $ l $ 惰性表示 $ \bar{r}|_{I_{F_w}} $ 的权 $ a $，该形式由霍奇-泰特权和基本特征的作用导出。
• 证明表明，由自守提升和权条件导出的 $ \bar{r}|_{I_{F_w}} $ 的全部 12 种可能同构类型，除非 $ F_a \cong F_b $，否则均导致矛盾，从而强制模性。
• 关键矛盾出现在层级 3 情况下，所有 12 个模 $ l^3 - 1 $（或 $ l^2 + l + 1 $）的同余条件均导致不可能的情形，例如 $ l^2 - 1 \equiv 0 \pmod{l^3 - 1} $，当 $ l > 2 $ 时该式不成立。
• 该结果在温和条件 $ a $ 为“一般”（此条件被大量权满足）且对所有嵌入 $ \tau $ 满足 $ \mu_{\tau,1} - \mu_{\tau,3} \leq l - 3 $ 时成立。
• 作者猜想 $ W^{ ext{explicit}}(\bar{r}) $ 仅包含 [EGHS14] 所预测的“显然”权，而完整的模权集合可能更大，但这些是当前利用福尔蒂内-拉菲勒理论可触及的权。