[论文解读] Several new domain-type and boundary-type numerical discretization schemes with radial basis function

W. Chen|ArXiv.org|Apr 23, 2001

Numerical methods in engineering参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型无网格、对称且无需积分的数值格式，用于使用径向基函数（RBFs）求解偏微分方程。该方法提出了边界型方法，如对称边界结点法（BKM）和边界粒子法（BPM），以及域型方法，如改进的Kansa法（MKM）和有限结点法（FKM），通过使用高阶基本解和Hermite型离散化，显著提升了边界附近的计算精度。

ABSTRACT

This paper is concerned with a few novel RBF-based numerical schemes discretizing partial differential equations. For boundary-type methods, we derive the indirect and direct symmetric boundary knot methods (BKM). The resulting interpolation matrix of both is always symmetric irrespective of boundary geometry and conditions. In particular, the direct BKM applies the practical physical variables rather than expansion coefficients and becomes very competitive to the boundary element method. On the other hand, based on the multiple reciprocity principle, we invent the RBF-based boundary particle method (BPM) for general inhomogeneous problems without a need using inner nodes. The direct and symmetric BPM schemes are also developed. For domain-type RBF discretization schemes, by using the Green integral we develop a new Hermite RBF scheme called as the modified Kansa method (MKM), which differs from the symmetric Hermite RBF scheme in that the MKM discretizes both governing equation and boundary conditions on the same boundary nodes. The local spline version of the MKM is named as the finite knot method (FKM). Both MKM and FKM significantly reduce calculation errors at nodes adjacent to boundary. In addition, the nonsingular high-order fundamental or general solution is strongly recommended as the RBF in the domain-type methods and dual reciprocity method approximation of particular solution relating to the BKM. It is stressed that all the above discretization methods of boundary-type and domain-type are symmetric, meshless, and integration-free. The spline-based schemes will produce desirable symmetric sparse banded interpolation matrix. In appendix, we present a Hermite scheme to eliminate edge effect on the RBF geometric modeling and imaging.

研究动机与目标

• 开发基于径向基函数的对称、无网格且无需积分的数值格式，用于求解偏微分方程。
• 通过引入Hermite型离散化和局部样条近似，解决RBF方法中边界误差累积的挑战。
• 通过边界型方法中的多重 reciprocity 原理，消除非齐次问题中对内部节点的需求。
• 通过使用无奇点的高阶基本解或一般解，提升RBF方法的效率与精度。
• 为提高数值条件和计算性能，提供对称、稀疏且带状的插值矩阵结构。

提出的方法

• 提出间接和直接对称边界结点法（BKM），确保无论边界几何形状或边界条件如何，插值矩阵始终保持对称。
• 引入基于RBF的边界粒子法（BPM），利用多重 reciprocity 原理，在无需内部节点的情况下处理非齐次项。
• 提出改进的Kansa法（MKM），一种Hermite型RBF格式，将控制方程和边界条件均在相同的边界节点上进行离散化。
• 提出有限结点法（FKM）作为MKM的局部样条版本，提升稳定性并降低边界误差。
• 在域型方法中使用无奇点的高阶基本解或一般解作为RBF，并在BKM中采用双 reciprocity 近似，以提升精度。
• 在附录中应用Hermite格式，以减轻基于RBF的几何建模与成像中的边缘效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为边界和域的离散化构建对称、无网格且无需积分的RBF格式？
• RQ2 通过Hermite型离散化，能否显著降低Kansa法中常见的边界节点误差？
• RQ3 是否可以通过仅使用边界节点的边界粒子法，在无需内部节点的情况下求解非齐次PDE？
• RQ4 在域型RBF方法中，使用无奇点的高阶基本解如何影响矩阵的条件数与精度？
• RQ5 局部样条近似（如FKM）能否在保持对称性的同时，改善插值矩阵的稀疏性与带宽？

主要发现

• 对称边界结点法（BKM）始终生成对称的插值矩阵，无论边界形状或边界条件如何。
• 直接BKM使用物理变量而非展开系数，其精度与效率与边界元法相当。
• 边界粒子法（BPM）借助多重 reciprocity 原理，成功在无需内部节点的情况下求解非齐次问题。
• 改进的Kansa法（MKM）通过在相同边界节点上离散化PDE和边界条件，在边界附近实现更高精度。
• 有限结点法（FKM）作为MKM的局部样条变体，显著降低了邻近边界节点的误差。
• 在域型方法中使用无奇点的高阶基本解或一般解，可获得条件数更优且更精确的结果。