[论文解读] Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$ and extensions by $\mathbb{Z}$ of locally finite groups

Jérémie Brieussel, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了，任何局部正规有限群关于 ℤ 的有限生成群扩张均满足 Shalom 的性质 $H_{\mathrm{FD}}$，从而解决了 Shalom 的一个猜想，并对他的有限 Hirsch 陈数猜想提供了反例。关键结果表明，有限子群的正规性条件是必不可少的，因为若无此条件，该性质将不成立，同时构造了具有 $H_{\mathrm{FD}}$ 和超扩散随机游走速度的新可约群例子。

ABSTRACT

We show that every finitely generated extension by $\mathbb{Z}$ of a locally normally finite group has Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$. This is no longer true without the normality assumption. This permits to answer some questions of Shalom, Erschler-Ozawa and Kozma. We also obtain a Neumann-Neumann embedding result that any countable locally finite group embedds into a two generated amenable group with property $H_{\mathrm{FD}}$.

研究动机与目标

• 确定局部有限群关于 ℤ 的有限生成扩张在何种条件下满足 Shalom 的性质 $H_{\mathrm{FD}}$。
• 解决 Shalom、Erschler-Ozawa 和 Kozma 关于局部有限群-ℤ 群中 $H_{\mathrm{FD}}$ 的开放问题。
• 构造具有 $H_{\mathrm{FD}}$ 和指定随机游走速度（包括超扩散行为）的新可约群例子。
• 建立可数局部有限群嵌入到双生成可约群中且具有 $H_{\mathrm{FD}}$ 的 Neumann-Neumann 型嵌入结果。

提出的方法

• 通过调和余胞分析与表示理论，证明任何满足 $1 \to L \to G \to \mathbb{Z} \to 1$ 且 $L$ 局部正规有限的有限生成群扩张均满足 $H_{\mathrm{FD}}$。
• 利用 Erschler-Ozawa 的 $H_{\mathrm{FD}}$ 判别准则（基于随机游走速度与 $μ$-调和函数），构造具有指定速度 $f(n)$ 的群。
• 通过构造具有弱混合表示的显式调和余胞，证明 $H_{\mathrm{FD}}$ 在某些局部有限-ℤ 群（如 $\mathrm{Sym}(\mathbb{Z})\rtimes\mathbb{Z}$）中不成立。
• 应用 Gournay 关于调和余胞通过 FC-中心分解的结果，构造出不被 Erschler-Ozawa 准则捕获的 $H_{\mathrm{FD}}$ 群。
• 利用 Brieussel-Zheng（2015）关于群的 $\ell^p$-压缩性与等周性质的结果，实现任意次线性速度函数。
• 通过反证法，利用余胞约化与有限维表示不变性，证明无限的有限生成可约群的威腊尔积 $H \wr G$ 不具有 $H_{\mathrm{FD}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个局部有限-ℤ 群是否都具有 Shalom 的性质 $H_{\mathrm{FD}}$？
• RQ2 Shalom 的猜想（即 $H_{\mathrm{FD}}$ 等价于有限 Hirsch 陈数）对可解群是否成立？
• RQ3 具有超扩散随机游走速度的群是否可能表现出 $H_{\mathrm{FD}}$？
• RQ4 是否存在不满足 Erschler-Ozawa 速度准则但具有 $H_{\mathrm{FD}}$ 的可约群？
• RQ5 无限可约群的威腊尔积是否具有 $H_{\mathrm{FD}}$？

主要发现

• 每个满足 $1 \to L \to G \to \mathbb{Z} \to 1$ 且 $L$ 局部正规有限的有限生成群扩张均具有 Shalom 的性质 $H_{\mathrm{FD}}$。
• $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}^d$（$d \geq 3$）具有有限 Hirsch 陈数但不具有 $H_{\mathrm{FD}}$，从一个方向否定了 Shalom 的猜想。
• 存在一个无限 Hirsch 陈数的可解群具有 $H_{\mathrm{FD}}$，从而否定了 Shalom 猜想的逆命题。
• 对任意次可加函数 $f$ 满足 $f(x)/x \to 0$，存在一个有限生成群 $\Delta$，其具有 $H_{\mathrm{FD}}$，并存在对称测度 $\mu$，使得 $\mathbb{E}_{\mu^{(n)}}d(e,x) \geq c f(n)$ 对某个 $c>0$ 成立。
• 此类 $\Delta$ 上的所有次线性 $\mu$-调和函数均为常数，表明扩散速度与非平凡次线性调和函数的缺失并不等价。
• 无限的有限生成可约群的威腊尔积 $H \wr G$ 不具有 $H_{\mathrm{FD}}$，证实了 Kozma 的一个民间猜想。