[论文解读] Shape and local growth for multidimensional branching random walks in random environment

Francis Comets, Serguei Popov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了在 d 维格点上的随机环境中进行的多维分支随机游走的极限定理，证明了访问站点的形状定理，表明这些站点形成一个紧致且凸的集合，并推导出局部种群大小的凹增长指数。本文建立了种群大小及其总粒子数对数的弱大数定律，其增长速率由涉及环境遍历结构的变分公式决定。

ABSTRACT

We study branching random walks in random environment on the $d$-dimensional square lattice, $d \\geq 1$. In this model, the environment has finite range dependence, and the population size cannot decrease. We prove limit theorems (laws of large numbers) for the set of lattice sites which are visited up to a large time as well as for the local size of the population. The limiting shape of this set is compact and convex, though the local size is given by a concave growth exponent. Also, we obtain the law of large numbers for the logarithm of the total number of particles in the process.

研究动机与目标

• 分析在 Z^d 上具有有限范围依赖性的随机环境中分支随机游走的长期行为。
• 建立一个形状定理，描述访问格点集合的极限形态为紧致且凸的集合。
• 推导局部种群大小的大数定律，表明其按凹增长指数增长。
• 证明系统中总粒子数对数的大数定律。
• 扩展对非可逆、非对称随机环境中种群增长动力学的理解，其中谱方法不适用。

提出的方法

• 该模型采用离散时间的分支随机游走在 Z^d 上，每个粒子以均值后代数 r(x) 分支，并根据依赖于随机环境 ω 的转移概率 p(x,·) 移动到相邻位置。
• 演化由一个离散的费曼-卡茨型方程控制：u_{n+1} - u_n = r Δ^ω u_n + (r-1)u_n，初始条件为 u_0(x) = 1_{x=z}。
• 解 u_n^z(x) 表示从 z 出发在时间 n 时位于位置 x 的粒子的期望数量。
• 应用子可加遍历定理于环境，利用平稳性与有限范围依赖性，推导出极限形态与增长指数。
• 通过与基因谱系树上诱导的均匀随机游走进行耦合，控制分支随机游走的范围与分支速率。
• 使用大偏差估计，并构造一个时间集合 Φ，其分支速率随时间递增，以证明总种群的指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n → ∞ 时，分支随机游走访问站点集合的极限形态是什么？
• RQ2 局部种群大小在空间与时间上的增长方式如何？其增长指数的函数形式是什么？
• RQ3 系统中总粒子数对数的渐近行为是什么？
• RQ4 随机环境如何影响该过程的瞬态与常返性质？
• RQ5 增长动力学能否通过涉及环境遍历结构的变分公式来刻画？

主要发现

• 当 n → ∞ 时，访问站点的集合在形状上收敛于 R^d 中的一个紧致且凸的集合。
• 局部种群大小按凹增长指数 β(v) 增长，即当 n → ∞ 时，有 u_n^z(x) ≈ exp{nβ((z−x)/n) + o(n)}。
• 总粒子数满足大数定律：(1/n) log Z_n^0 → β(0) 几乎必然成立，其中 β 是一个凹函数。
• 增长指数 β(v) 通过涉及环境遍历性质的变分公式来刻画。
• 总种群大小以指数速度增长：在高概率下，E_ω[Z_n^0] ≥ C_3 2^{α_4 n}，其中 α_4 > 0 且 C_3 > 0。
• 结果在环境具有有限范围依赖性条件下成立，扩展了独立或 i.i.d. 情况之外的适用范围。