[论文解读] Intermittency for branching random walk in heavy tailed environment

Marcel Ortgiese, Matthew I. Roberts|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文研究了在具有独立同分布重尾（帕累托）分支率的晶格上的分支随机游走，通过‘荷叶’系统建模粒子生长。研究证明了间歇性现象，表明大多数粒子集中在单一小型区域，该区域具有高势能；并揭示尽管与抛物型安德森模型相似，但其潜在生长机制存在根本性差异。

ABSTRACT

We consider a branching random walk on the lattice, where the branching rates are given by an i.i.d. Pareto random potential. We describe the process, including a detailed shape theorem, in terms of a system of growing lilypads. As an application we show that the branching random walk is intermittent, in the sense that most particles are concentrated on one very small island with large potential. Moreover, we compare the branching random walk to the parabolic Anderson model and observe that although the two systems show similarities, the mechanisms that control the growth are fundamentally different.

研究动机与目标

• 理解在具有独立同分布帕累托分支率的随机重尾环境中分支随机游走的行为。
• 利用几何‘荷叶’模型表征粒子系统的空间结构与生长动力学。
• 研究系统是否表现出间歇性，即粒子是否集中在单一主导区域。
• 将分支随机游走与抛物型安德森模型进行比较，识别其生长机制的根本差异。

提出的方法

• 将分支随机游走建模为一组生长的荷叶，其中每个位置的生长由其随机势能决定。
• 使用形状定理描述荷叶系统的大尺度生长模式。
• 应用极值理论与大偏差技术，分析罕见高势能位点的影响。
• 通过证明总质量集中于单一高势能小岛，建立间歇性。
• 将分支随机游走与抛物型安德森模型进行比较，突出其驱动粒子局域化的机制差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 重尾（帕累托）分支率的存在如何影响分支随机游走中粒子的空间分布？
• RQ2 系统是否表现出间歇性，即大多数粒子是否局域化于一个具有高势能的小型岛屿？
• RQ3 在如此重尾的环境中，控制粒子系统生长的几何与概率机制是什么？
• RQ4 在局域化与生长动力学方面，分支随机游走与抛物型安德森模型有何异同？

主要发现

• 分支随机游走表现出强烈的间歇性，绝大多数粒子集中在单一小型岛屿，该岛屿具有异常高的势能。
• 系统的生长可有效由‘荷叶’模型描述，其中每个位置根据其独立同分布的帕累托势能进行扩展。
• 形状定理刻画了系统的宏观生长，表明粒子的支撑集以可预测的、确定性的方式扩展。
• 尽管与抛物型安德森模型相似，但其局域化驱动机制存在根本差异：在此模型中，局域化源于重尾分支率与空间探索的相互作用，而非扩散混合。