[论文解读] Shape Theories. I. Their Diversity is Killing-Based and thus Nongeneric

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Morphological variations and asymmetry参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文确立了非平凡的形状理论与形状-尺度理论——这些理论在关系力学、背景无关性及理论物理中具有核心地位——并非普遍存在，因为它们依赖于广义的基灵向量场，而这类向量场在几何结构完备的流形上通常恒为零。关键结论是，此类理论仅存在于高度对称的设定中，因此在所有可能的载体空间中属于测度为零的情形。

ABSTRACT

Kendall's Shape Theory covers shapes formed by $N$ points in $\mathbb{R}^d$ upon quotienting out the similarity transformations. This theory is based on the geometry and topology of the corresponding configuration space: shape space. Kendall studied this to build a widely useful Shape Statistics thereupon. The corresponding Shape-and-Scale Theory -- quotienting out the Euclidean transformations -- is useful in Classical Dynamics and Molecular Physics, as well as for the relational `Leibnizian' side of the Absolute versus Relational Motion Debate. Kendall's shape spaces moreover recur withing this `Leibnizian' Shape-and-Scale Theory. There has recently been a large expansion in diversity of Kendall-type Shape(-and-Scale) Theories. The current article outlines this variety, and furthermore roots it in solving the poset of generalized Killing equations. This moreover also places a first great bound on how many more Shape(-and-Scale) Theories there can be. For it is nongeneric for geometrically-equipped manifolds -- replacements for Kendall's $\mathbb{R}^d$ carrier space (absolute space to physicists) - to possess any generalized Killing vectors. Article II places a second great bound, now at the topological level and in terms of which Shape(-and-Scale) Theories are technically tractable. Finally Article III explains how the diversity of Shape(-and-Scale) Theories - from varying which carrier space and quotiented-out geometrical automorphism group are in use - constitutes a theory of Comparative Background Independence: a topic of fundamental interest in Dynamics, Gravitation and Theoretical Physics more generally. Article I and II's great bounds moreover have significant consequences for Comparative Background Independence.

研究动机与目标

• 解释近期在理论物理与几何学中出现的多种形状（及形状-尺度）理论的激增现象。
• 识别控制此类理论存在的潜在数学机制——广义基灵方程（GKEs）。
• 确立非平凡关系理论极为稀少（测度为零），因为大多数流形缺乏非平凡的广义对称性。
• 通过分析GKEs的可解性，为可能的形状（及形状-尺度）理论的数量提供微分几何上的限制。
• 为比较性背景无关性奠定基础，表明理论多样性源于载体空间上的对称性约束。

提出的方法

• 将不同可微流形上的广义基灵方程（GKEs）的偏序集（poset）视为形状（及形状-尺度）理论多样性的根源。
• 使用李导数形式化方法，将广义基灵向量定义为GKEs的解，这些解对应于几何自同构。
• 将该框架应用于载体空间 $\mathfrak{C}^d$（例如 $\mathbb{R}^d$）及其射影化版本 $\mathfrak{p}^{d-1}$，识别出何时商化可产生非平凡的形状空间。
• 证明当GKEs不存在非平凡解时，关系空间为平凡的积空间。
• 确立非平凡形状理论仅在载体空间容许非平凡广义基灵向量时才存在。
• 利用拓扑与几何上的通用性条件，表明此类对称性为例外情况，而非典型情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何非平凡形状（及形状-尺度）理论仅存在于高度对称的设定中？
• RQ2 在不同载体空间中，形状（及形状-尺度）理论多样性的数学基础条件是什么？
• RQ3 广义基灵方程的可解性如何限制关系理论的存在性？
• RQ4 为何非平凡形状理论在所有可能的几何载体空间中测度为零？
• RQ5 此微分几何限制如何与理论物理中更广泛的比较性背景无关性概念相联系？

主要发现

• 非平凡形状（及形状-尺度）理论并非普遍存在，因为它们要求广义基灵方程（GKEs）存在非平凡解，而这类解在几何结构完备的流形上通常恒为零。
• 唯一通用的关系空间是积空间 $\times_{I=1}^N \mathfrak{C}^d$，对应于自同构的平凡恒等群。
• 当GKEs存在非平凡解时，所得的商空间将产生非平凡的形状或形状-尺度空间，但此类情况极为罕见，仅出现在对称性较高的设定中。
• 现有形状理论的多样性源于在高度对称的载体空间（如 $\mathbb{R}^d$）中搜索，因为在此类空间中GKEs存在非平凡解。
• 引入曲率、非最大对称性或拓扑识别会迅速减少可行理论的数量，从而在微分几何层面上确认了第一个根本性限制。
• 平凡关系理论——即关系空间仅为构型空间本身——始终存在，因为它是齐次线性GKEs的零解。