[论文解读] Shape Theories. II. Compactness Selection Principles

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Morphological variations and asymmetry参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文引入基于紧致性的拓扑选择原则，以识别在技术上可处理的形状（及尺度）理论；表明紧致空间关于紧致李群的商空间可产生分析性质良好、豪斯多夫、二阶可数、局部紧致（LCHS）的分层流形——这些条件可保证良好的分析行为。仅有少数提出的形状理论（包括肯德尔的相似形状理论）满足这些标准；而在图像分析中重要的仿射与射影形状理论则仅具有柯尔莫哥洛夫分离性，限制了其技术可处理性。

ABSTRACT

Shape(-and-scale) spaces - configuration spaces for generalized Kendall-type Shape(-and-Scale) Theories - are usually not manifolds but stratified manifolds. While in Kendall's own case - similarity shapes - the shape spaces are analytically nice - Hausdorff - for the Image Analysis and Computer Vision cases - affine and projective shapes - they are not: merely Kolmogorov. We now furthermore characterize these results in terms of whether one is staying within, or straying outside of, some compactness conditions which provide protection for nice analytic behaviour. We furthermore list which of the recent wealth of proposed shape theories lie within these topological-level selection principles for technical tractability. Most cases are not protected, by which the merely-Kolmogorov behaviour may be endemic and the range of technically tractable Shape(-and-Scale) Theories very limited. This is the second of two great bounds on Shape(-and-Scale) Theories, each of which moreover have major implications for the Comparative Theory of Background Independence as per Article III.

研究动机与目标

• 通过分析紧致性条件，识别确保形状（及尺度）理论技术可处理性的拓扑选择原则。
• 解释为何肯德尔的相似形状理论在分析上表现良好，而许多现代理论（如仿射与射影理论）则不然。
• 表征由常子空间关于自同构群的商化所产生的关系空间的拓扑分离性质（豪斯多夫与柯尔莫哥洛夫分离）。
• 评估微分几何工具（如纤维丛、层）在标准流形失效的分层流形设定中的适用性。
• 评估这些发现对关系物理与几何中比较背景无关性的影响。

提出的方法

• 将关系空间视为常子空间关于自同构群的商：$\mathfrak{R}(d,N;\mathfrak{g}) = \mathfrak{q}(d,N)/\mathfrak{g}$，其中 $\mathfrak{g} = \text{Aut}(\mathfrak{M},\boldsymbol{\sigma})$。
• 应用定理：紧致空间关于紧致李群的商空间产生LCHS（局部紧致、豪斯多夫、二阶可数）分层流形，从而保证良好的分析行为。
• 将形状理论分为三类拓扑带：I型（豪斯多夫），II型（去除孤立坏点后为豪斯多夫），III型（仅具有柯尔莫哥洛夫分离性）。
• 使用Śniatycki的子笛卡尔微分空间与Kreck/Pflaum的（分层流形，层）框架，将分析工具扩展至非流形分层空间。
• 将当前的紧致性标准与现有结果进行比较，包括Kendall等人关于相似形状空间拓扑的研究以及[49]中Mumford的观点。
• 评估纤维丛方法在分层设定中因各层纤维非齐次而失效，从而需要采用层或微分空间替代。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些形状理论满足保证关系空间分析性质良好（LCHS）的紧致性选择标准？
• RQ2 为何肯德尔的相似形状理论相比仿射与射影形状理论展现出更优的技术可处理性？
• RQ3 仅具有柯尔莫哥洛夫分离性的分层流形（如仿射与射影形状理论中的）在多大程度上限制了标准微分几何工具的适用性？
• RQ4 Śniatycki的子笛卡尔微分空间框架能否应用于形状与尺度空间，以在非豪斯多夫情况下恢复分析结构？
• RQ5 这些基于紧致性的选择原则如何限制关系物理与几何中比较背景无关性的适用范围？

主要发现

• 肯德尔的相似形状理论满足两项紧致性标准：它是紧致预形状球关于紧致旋转群（$\mathbb{S}^{nd-1}/SO(d)$）的商，从而产生LCHS分层流形。
• 尽管在图像分析与计算机视觉中具有重要性，仿射与射影形状理论仍不符合紧致性标准，仅表现出柯尔莫哥洛夫分离性，导致分析行为欠佳。
• 紧致空间关于紧致李群的商空间保证产生LCHS商空间，该条件足以保证仿紧性，并可使用标准分析工具。
• 非LCHS的分层流形（如仿射与射影理论中的）无法通过标准纤维丛方法处理，因其各层非齐次，必须采用层或微分空间替代。
• 仅有极少数提出的关联理论（包括肯德尔的）符合保护性紧致性选择标准，表明在技术上可处理的形状理论极为稀少。
• LCHS分层流形处于Śniatycki的子笛卡尔微分空间框架与Kreck/Pflaum的（分层流形，层）方法论的适用范围内，从而可进一步开展分析研究。