[论文解读] Sharp geometric inequalities in spaces with nonnegative Ricci curvature and Euclidean volume growth

Zoltán M. Balogh, Alexandru Kristály|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 55被引用 8

一句话总结

本文通过最优质量传输方法，在具有非负 Ricci 曲率和欧几里得体积增长的度量测度空间中建立了精确的等周不等式。证明了当且仅当流形同构于欧几里得空间时，具有光滑边界的存在等周集；并推导出在欧几里得空间中等号成立的精确 Gagliardo-Nirenberg 与 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式。

ABSTRACT

By the method of optimal mass transport we prove a sharp isoperimetric inequality in ${\sf CD} (0,N)$ metric measure spaces involving the asymptotic volume ratio at infinity, $N>1$. In the setting of $n$-dimensional Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature we provide a rigidity result stating that isoperimetric sets with smooth regular boundary exist if and only if the manifold is isometric to the Euclidean space. As applications of the isoperimetric inequalities, we establish Gagliardo-Nirenberg and Rayleigh-Faber-Krahn inequalities with explicit sharp constants in Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature; here we use appropriate symmetrization techniques and optimal volume non-collapsing properties. The equality cases in the latter inequalities are also characterized by stating that sufficiently smooth, nonzero extremal functions exist if and only if the Riemannian manifold is isometric to the Euclidean space.

研究动机与目标

• 在涉及无穷远处渐近体积比的 ${\sf CD}(0,N)$ 度量测度空间中建立精确的等周不等式。
• 刻画 $n$-维具有非负 Ricci 曲率的黎曼流形中具有光滑边界的等周集的刚性性质。
• 在非负 Ricci 曲率条件下推导 Gagliardo-Nirenberg 与 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式的最优常数。
• 通过足够光滑极值函数的存在性，识别这些不等式中的等号成立情形。
• 通过最优质量传输与体积非坍缩性质，统一几何与函数不等式。

提出的方法

• 利用最优质量传输技术分析 ${\sf CD}(0,N)$ 空间中的等周轮廓。
• 应用对称化方法，将函数不等式简化为非负 Ricci 曲率背景下的对称模型。
• 以无穷远处的渐近体积比作为关键几何不变量，推导精确的等周不等式。
• 依赖最优体积非坍缩性质，控制测度衰减并确保常数的精确性。
• 结合度量测度空间分析与黎曼几何，建立等周集的刚性定理。
• 利用 $n$-维具有非负 Ricci 曲率的黎曼流形的结构，刻画函数不等式中等号成立的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有欧几里得体积增长的 ${\sf CD}(0,N)$ 空间中，精确的等周不等式是什么？它如何依赖于渐近体积比？
• RQ2 在具有非负 Ricci 曲率的黎曼流形中，等周集具有光滑边界存在的条件是什么？
• RQ3 在这些流形中，Gagliardo-Nirenberg 与 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式的最优常数是什么？
• RQ4 这些不等式的极值函数在何时存在？需要何种几何条件？
• RQ5 从底层几何角度，这些函数不等式中的等号情形由什么特征刻画？

主要发现

• 在涉及无穷远处渐近体积比的 ${\sf CD}(0,N)$ 度量测度空间中建立了精确的等周不等式。
• $n$-维具有非负 Ricci 曲率的黎曼流形中，当且仅当流形同构于欧几里得空间时，存在具有光滑正则边界的等周集。
• 在非负 Ricci 曲率流形设定下，推导出具有显式最优常数的精确 Gagliardo-Nirenberg 不等式。
• 证明了 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式具有最优常数，且等号成立当且仅当流形同构于欧几里得空间。
• 当且仅当流形同构于欧几里得空间时，存在足够光滑且非零的极值函数，使精确的 Gagliardo-Nirenberg 与 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式达到等号。
• 所有函数不等式中的等号情形均由底层黎曼流形为欧几里得空间的刚性性质所刻画。