[论文解读] Sharp upper bounds for moments of quadratic Dirichlet $L$-functions

Peng Gao|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 7

一句话总结

该论文通过改进应用Radziwiłł–Soundararajan原理，建立了二次狄利克雷L函数在临界点处k阶矩的无条件精确上界，其中0 ≤ k ≤ 2。通过利用指数和、赫尔德不等式以及对狄利克雷多项式的精细截断，证明了矩的增长速度至多为X(log X)^{k(k+1)/2}，在不假设广义黎曼猜想（GRH）的前提下，与预测的阶数完全一致。

ABSTRACT

We establish unconditional sharp upper bounds of the $k$-th moments of the family of quadratic Dirichlet $L$-functions at the central point for $0 \leq k \leq 2$.

研究动机与目标

• 在不假设广义黎曼猜想的前提下，为0 ≤ k ≤ 2时L(1/2, χ₈ₔ)的k阶矩建立精确上界。
• 将Radziwiłł与Soundararajan的方法扩展至字符为χ₈ₔ的二次狄利克雷L函数族。
• 通过提供与预测渐近增长一致的无条件界，改进在GRH假设下的条件结果。
• 通过构造基于指数和的精细控制函数，证明矩的增长率X(log X)^{k(k+1)/2}是最优的。

提出的方法

• 应用Radziwiłł–Soundararajan原理，将高阶矩与素数上的指数和联系起来，特别是∑_{p≤z} (1/√p)χ₈ₔ( p )。
• 使用函数𝒫(d) = ∑_{p≤z} (1/√p)χ₈ₔ( p )来建模L(1/2, χ₈ₔ)的对数大小，从而通过指数衰减控制L函数的大小。
• 利用Young不等式与赫尔德不等式，将|L(1/2, χ₈₈ₔ)|^{nk}的主要化为包含|L(1/2, χ₈ₔ)|^n与𝒫(d)指数函数的项之和。
• 通过泰勒展开对指数生成函数exp(kn𝒫(d))进行截断，得到可平均的狄利克雷多项式。
• 使用函数𝒩(d, α) = ∏_p (1 + α/p^{1/2} + ⋯ + α^{2ℓ}/p^{ℓ+1/2})来近似指数函数，其中ℓ的选择用于平衡误差项与主项。
• 应用引理4.1证明E_ℓ(x)E_ℓ(-x) ≥ 1，从而可利用赫尔德不等式将k阶矩以低阶矩与𝒩(d, α)的乘积形式有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设广义黎曼猜想的前提下，为0 ≤ k ≤ 2时二次狄利克雷L函数在临界点处的k阶矩建立精确上界？
• RQ2 如何将Radziwiłł–Soundararajan原理适配于奇平方自由d的L(s, χ₈ₔ)族？
• RQ3 k阶矩∑_{d≤X, (d,2)=1} |L(1/2, χ₈ₔ)|^k的精确增长速率为何？其是否与预测的X(log X)^{k(k+1)/2}一致？
• RQ4 该方法能否扩展至非整数矩（如k = 1/2或k = 1/m，其中整数m > 2）？

主要发现

• 对于奇平方自由d ≤ X，L(1/2, χ₈ₔ)的k阶矩在0 ≤ k ≤ 2时，无条件地有上界O_k(X(log X)^{k(k+1)/2})。
• 该上界与预测的渐近阶数完全一致，验证了随机矩阵理论与CFKRS猜想的预测。
• 当k = 1与k = 2时，该上界是精确的，并与已知渐近公式一致，且误差项得到改进。
• 该方法通过使用基于截断指数和与赫尔德不等式的控制函数，成功避免了对GRH的依赖。
• 该方法可推广至非整数矩（如k = 1/2），通过利用E_ℓ(x)E_ℓ(-x) ≥ 1的恒等式与多次应用赫尔德不等式实现。
• 证明表明，矩估计中的误差项可通过Euler乘积的收敛性与狄利克雷多项式展开中系数的衰减得到控制。