[论文解读] Sheaves of maximal intersection and multiplicities of stable log maps

Jinwon Choi, Michel van Garrel+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文计算了在对数卡拉比-丘曲面中，非刚性不可约与可约 ${\mathbb{A}}^1$-曲线对 genus 0 对数格罗莫夫-威滕不变量的贡献。它为非刚性曲线构造了对数1维层的模空间，并明确描述了两根刚性曲线并集的形变理论，比较了对数与相对稳定映射不变量。关键结果是在非刚性情况下，对数多重性与热带多重性精确匹配，而在可约情况下与相对不变量形成对比。

ABSTRACT

A great number of theoretical results are known about log Gromov-Witten invariants, but few calculations are worked out. In this paper we restrict to surfaces and to genus 0 stable log maps of maximal tangency. We ask how various natural components of the moduli space contribute to the log Gromov-Witten invariants. The first such calculation by Gross-Pandharipande-Siebert deals with multiple covers over rigid curves in the log Calabi-Yau setting. As a natural continuation, in this paper we compute the contributions of non-rigid irreducible curves in the log Calabi-Yau setting and that of the union of two rigid curves in general position. For the former, we construct and study a moduli space of "logarithmic" 1-dimensional sheaves and compare the resulting multiplicity with tropical multiplicity. For the latter, we explicitly describe the components of the moduli space and work out the logarithmic deformation theory in full, which we then compare with the deformation theory of the analogous relative stable maps.

研究动机与目标

• 计算非刚性不可约 ${\mathbb{A}}^1$-曲线在对数卡拉比-丘设定下对 genus 0 对数格罗莫夫-威滕不变量的贡献。
• 研究此类曲线的对数1维层模空间，并将其重数与热带不变量关联。
• 明确描述一般位置下两根刚性 ${\mathbb{A}}^1$-曲线并集的稳定对数映射的分量与形变理论。
• 在可约情况下比较稳定对数映射与相对稳定映射的模空间，揭示其形变理论的结构性差异。

提出的方法

• 为研究对数卡拉比-丘曲面中的非刚性 ${\mathbb{A}}^1$-曲线，构造了对数1维层的模空间。
• 使用显式局部坐标与对数结构，分析具有两个非坍缩分量的稳定对数映射的形变理论。
• 应用相对紧化皮卡代数系以研究对数设定下的非奇异性质。
• 通过在 $\mathrm{Spec}\ \mathbb{C}[s]/(s^2)$ 上的显式族，比较稳定对数映射与相对稳定映射的形变理论。
• 利用可逆函数 $\tilde{A}_i, \tilde{B}_i$ 与重参数化公式，验证预形变性与边界拉回条件。
• 依赖 [54] 的主要结果，得出相对稳定映射的模空间同构于 $\mathrm{Spec}\ \mathbb{C}[s]/(s^2)$，而对数情形下的2点方案则不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对数卡拉比-丘设定下，非刚性不可约 ${\mathbb{A}}^1$-曲线如何对对数格罗莫夫-威滕不变量作出贡献？
• RQ2 在非刚性情况下，稳定对数映射的重数与热带重数之间有何关系？
• RQ3 对于由两根刚性 ${\mathbb{A}}^1$-曲线组成的可约曲线，稳定对数映射与相对稳定映射的形变理论有何不同？
• RQ4 两根刚性 ${\mathbb{A}}^1$-曲线在一般位置下的稳定对数映射模空间具有何种结构？
• RQ5 为何此类配置下相对稳定映射的模空间仅有一个约化点，而对数模空间却有两个？

主要发现

• 通过构造对数1维层模空间计算的非刚性不可约 ${\mathbb{A}}^1$-曲线重数，与热带重数完全一致。
• 利用在 $\mathrm{Spec}\ \mathbb{C}[s]/(s^2)$ 上的族，显式描述了两根刚性 ${\mathbb{A}}^1$-曲线在一般位置下稳定对数映射的形变理论，其具有非平凡形变数据。
• 相同配置下，相对稳定映射的模空间同构于 $\mathrm{Spec}\ \mathbb{C}[s]/(s^2)$，表明仅存在一个无穷小形变。
• 相比之下，相同配置下稳定对数映射的模空间有两个约化点，表明其形变结构不同。
• 对数映射下边界除子的拉回为 $4\cdot\tilde{x}_1$，确认了对数设定下重数的正确性。
• 通过可逆函数 $\tilde{A}_i, \tilde{B}_i$ 验证了预形变性，其中 $\tilde{A}_1\tilde{B}_1 = 2$ 且 $\tilde{A}_2\tilde{B}_2 = 8$，确保与对数结构的相容性。