[论文解读] Sheaves of ordered spaces and interval theories

Krzysztof Worytkiewicz|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过将局部有序空间（local epo-spaces）的范畴嵌入到一个基于初等部分有序空间的范畴上的层范畴中，建立了定向同伦理论的拓扑理论框架。它证明了D-同伦（使用具有自然序的标准区间）弱于Di-同伦（使用离散序），并表明从D-同伦模型到Di-同伦模型的恒等函子是一个左Quillen函子，从而通过层论工具将两种关键的定向同伦概念联系起来。

ABSTRACT

We study the homotopy theory of locally ordered spaces, that is manifolds with boundary whose charts are partially ordered in a compatible way. Their category is not particularly well-behaved with respect to colimits. However, this category turns out to be a certain full subcategory of a topos of sheaves over a simpler site. A precise characterisation of this subcategory is provided. The ambient topos makes available some general homotopical machinery.

研究动机与目标

• 为局部有序空间提供一个同伦框架，因为它们在其原始范畴中对余极限表现不佳。
• 在统一的设定下比较两种定向同伦概念——Di-同伦（使用区间上的离散序）和D-同伦（使用自然序）。
• 通过将两者嵌入到同一个层范畴中，证明D-同伦模型弱于Di-同伦模型。
• 使用格罗滕迪克拓扑中的基于区间的模型结构，比较由不同有序区间诱导的弱等价关系。
• 建立从D-同伦模型到Di-同伦模型的恒等函子为左Quillen函子，表明同伦信息存在层级关系。

提出的方法

• 通过限制Yoneda嵌入，将局部epo-空间的范畴嵌入到epo-空间范畴上的层拓扑中。
• 利用层范畴的一个全子范畴，通过关于étale映射的$π$-局部性，将局部epo-空间表征为满足特定条件的层。
• 在层拓扑中构造两个区间对象：一个具有离散序（$\mathcal{I}_d$），代表Di-同伦；另一个具有自然序（$\mathcal{I}_D$），代表D-同伦。
• 定义区间之间的态射，并通过分量弱等价关系分析一种模型结构中的弱等价如何与另一种相关联。
• 使用收缩同伦$h(f,g) = f \cdot g$，从$h_{\mathbb{P}}(\Delta_d) \times h_{\mathbb{P}}(\Delta_d) \to h_{\mathbb{P}}(\Delta_D)$，证明$_D$是一个$\mathcal{I}_d$-弱等价。
• 应用Cisinski的基于区间的模型结构结果，比较由$\mathcal{I}_d$和$\mathcal{I}_D$诱导的两种模型结构中的弱等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将局部有序空间的范畴嵌入到一个更良态的同伦设定中？
• RQ2 在局部有序空间的背景下，Di-同伦与D-同伦之间的关系是什么？
• RQ3 D-同伦模型中的弱等价是否包含在Di-同伦模型的弱等价中？
• RQ4 能否通过层论框架统一并比较不同形式的定向同伦？
• RQ5 由离散序区间和自然序区间诱导的模型结构之间是否存在Quillen函子关系？

主要发现

• 通过限制Yoneda嵌入，局部epo-空间的范畴完全嵌入到epo-空间范畴上的层拓扑中。
• 一个层是局部epo-空间，当且仅当它存在一族从可表示层出发的$\mathbb{P}$-局部单射态射，且其余积映射是满射。
• 区间之间的态射$\iota: \mathcal{I}_d \to \mathcal{I}_D$是分量意义上的$\mathcal{I}_d$-弱等价。
• D-同伦模型的弱等价（$\mathcal{W}_{\mathcal{I}_D}$）包含于Di-同伦模型的弱等价（$\mathcal{W}_{\mathcal{I}_d}$）中。
• 从D-同伦模型到Di-同伦模型的恒等函子是一个左Quillen函子，表明同伦信息存在层级结构。
• 收缩同伦$h(f,g) = f \cdot g$在证明$_D$是$\mathcal{I}_d$-弱等价时至关重要，但由于序连通性约束，其反向不存在此类同伦。