[论文解读] Sheaves via augmentations of Legendrian surfaces

Dan Rutherford, Michael G. Sullivan|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文从 $M \times \mathbb{R}$ 上的构造性层的余链复形出发，利用与 $1$-喷射空间中勒格朗日曲面相关的新型单纯微分代数（DGA）的增强构造而成。该构造基于底流形的单纯剖分所给出的组合数据，并建立了从增强到导出范畴 $\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ 中层的映射，为二维情形下勒格朗日接触同调不变量与微观局部层论之间猜想的联系提供了具体且组合化的实现方式。

ABSTRACT

Given an augmentation for a Legendrian surface in a $1$-jet space, $Λ\subset J^1(M)$, we explicitly construct an object, $\mathcal{F} \in Sh_Λ$, of the (derived) category from arXiv:1402.0490 of constructible sheaves on $M imes R$ with singular support determined by $Λ$. In the construction, we introduce a simplicial Legendrian DGA (differential graded algebra) for Legendrian submanifolds in $1$-jet spaces that, based on arXiv:1608.02984 and arXiv:1608.03011, is equivalent to the Legendrian contact homology DGA in the case of Legendrian surfaces. In addition, we extend the approach of arXiv:1402.0490 for $1$-dimensional Legendrian knots to obtain a combinatorial model for sheaves in $Sh_Λ$ in the $2$-dimensional case.

研究动机与目标

• 在 $1$-喷射空间中勒格朗日曲面的增强构造中，建立 $\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ 中层的具体、组合化构造。
• 引入一个系数为 $\mathbb{Z}$ 的单纯 DGA，该 DGA 是单元 DGA 的推广，并在模 $2$ 下与勒格朗日接触同调 DGA 一致。
• 将 [30] 中针对 $1$D 绳结的方法扩展至具有轻微前向奇点的 $2$D 勒格朗日曲面，利用底流形的相容单纯剖分。
• 证明该层构造仅依赖于固定底层层数据下的增强，使对应关系明确且可计算。
• 通过勒格朗日曲面上的局部系统，为推广至更高微观局部秩与非平凡单值性提供框架。

提出的方法

• 利用底流形 $M$ 的相容单纯剖分 $\mathcal{E}$，引入一个系数为 $\mathbb{Z}$ 的单纯 DGA $\mathcal{A}(\Lambda, \mathcal{E})$，用于勒格朗日曲面。
• 将链同伦图（CHD）定义为增强的组合模型，建立增强 $\epsilon: \mathcal{A}(\Lambda, \mathcal{E}) \to \mathbb{K}$ 与 CHD 之间的双射。
• 通过为单体分配向量空间、为从属关系分配链映射，利用 CHD 数据在 $\mathbf{Fun}^\bullet_\Lambda(\mathcal{S}, \mathbb{K})$ 中构造组合层。
• 从边与顶点上的单纯图构造广义映射柱，通过显式同伦论证确保总复形的无挠性。
• 利用拟等价 $\Gamma_\mathcal{S}: \mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(\mathcal{S}, \mathbb{K}) \to \mathbf{Fun}^\bullet_\Lambda(\mathcal{S}, \mathbb{K})$ 将组合层提升为实际的层复形。
• 验证所得层的奇异支撑包含于 $\Lambda$ 上的拉格朗日子流形中，确保其属于 $\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 勒格朗日曲面的勒格朗日接触同调 DGA 的增强是否可用于构造导出范畴中构造性层的显式对象？
• RQ2 是否存在一种组合化、局部化且可公式化的 DGA 构造，用于勒格朗日曲面，该构造可推广单元 DGA 并在 $\mathbb{Z}$-系数下成立？
• RQ3 在 $2$D 情形下，如何使增强与层之间的对应关系具体化且可计算，以扩展 [30] 中 $1$D 框架？
• RQ4 底流形的单纯剖分在组织层构造及确保与 DGA 结构相容性方面起什么作用？
• RQ5 该构造能否通过勒格朗日曲面上的非平凡局部系统推广至更高微观局部秩或具有非平凡单值性的层？

主要发现

• 本文构造了一个良定义的映射 $\Phi: \mathit{Aug}(\Lambda; \mathbb{K}) \to \mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$，将单纯 DGA 的增强映射到导出范畴中的层，建立了接触不变量与层论之间的直接联系。
• 证明了单纯 DGA $\mathcal{A}(\Lambda, \mathcal{E})$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的 DGA，其模 $2$ 约化恢复了单元 DGA，而单元 DGA 已知与勒格朗日接触同调 DGA 稳定坦同构。
• 层的构造仅依赖于固定底层层数据下的增强，微分由增强组合确定，确保了实现的具体性与明确性。
• 通过同伦论证证明了边与顶点上单纯图相关联的总复形的无挠性，确保所得层复形是良定义的。
• 所得层的微观局部秩为 $1$，通过将 $\mathbb{K}$-值生成元替换为 $n$-维向量空间，该构造可推广至更高秩层。
• 作者猜想，从增强到层的映射在 $\mathbb{Z}/2$ 上且当 $M = \mathbb{R}^2$ 时，可能在具有无挠截面的微观局部秩 $1$ 层子范畴上本质上是满射。