[论文解读] Shifted convolution sums of $GL_3$ cusp forms with $ heta$-series

Qingfeng Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过高级指数和估计与特征和分析，建立了关于 $GL_3$ Hecke-Maass cusp 形式傅里叶系数与三元 theta 系列 $r_3(n)$ 的偏移卷积和的无条件界。关键结果为混合界 $X^{3/2 - 1/8 + \varepsilon}$，优于条件界，并在缺乏强 Kloosterman 和估计的情况下展示了非平凡抵消。

ABSTRACT

Let $A_f(1,n)$ be the normalized Fourier coefficients of a Hecke-Maass cusp form $f$ for $SL_3(\\mathbb{Z})$ and $$ r_3(n)=\\#\\left\\{(n_1,n_2,n_3)\\in \\mathbb{Z}^3:n_1^2+n_2^2+n_3^2=n\ ight\\}. $$ Let $1\\leq h\\leq X$ and $\\phi(x)$ be a smooth function compactly supported on $[1/2,1]$. It is shown that $$ \\sum_{n\\geq 1}A_f(1,n+h)r_3(n)\\phi\\left(\\frac{n}{X}\ ight) \\ll_{f,\\varepsilon} X^{\\frac{3}{2}-\\frac{1}{8}+\\varepsilon} $$ uniformly with respect to the shift $h$.

研究动机与目标

• 建立关于 $GL_3$ Hecke-Maass cusp 形式与三元 theta 系列 $r_3(n)$（表示整数为三个平方和的表示数）的偏移卷积和的非平凡、无条件上界。
• 克服由于 $r_3(n)$ 扭曲的指数和缺乏强估计而阻碍 Jutila 圆法在此情境下应用的问题。
• 将先前关于 $GL_2$ 形式与偏移卷积和的结果推广至更复杂的 $GL_3$ 设置，特别是针对 $r_3(n)$，即 $\theta^3(z)$ 的傅里叶系数。
• 在定量上优于基于 Ramanujan 猜想和已知 $GL_3$ $L$-函数估计所导出的条件界。
• 将方法扩展至更高阶的 $\ell$-重 theta 系列 $r_\ell(n)$，表明该方法可推广至 $\ell=3$ 之外。

提出的方法

• 证明依赖于 $GL_3$ cusp 形式的 Voronoi 求和公式，以及从 $\theta^3(z)$ 理论推导出的关于 $r_3(n)$ 的新型 Voronoi 型公式。
• 通过 Poisson 求和与特征和分解，将偏移卷积和转化为模数 $q$ 上的复特征和 $\mathscr{C}(b_1,b_2,b_3,n_1,n_2,h,v;q)$ 的估计问题。
• 通过将和分解为二元区间，并在 $p \mid n_2$ 情况下应用 Weil 的 Kloosterman 和估计与 Salié 和估计，进一步分析该特征和。
• 在一般情形下，利用相关洛朗多项式 $f(x,y)$ 相对于其 Newton 多面体 $\Delta(f)$ 的非退化性，应用有限域上指数和理论的结果。
• 关键技术步骤涉及通过 $\epsilon$-移除技术有界化扭曲的 Ramanujan 和，利用 $f$ 的非退化性以及原点在 $\Delta(f)$ 内部的性质。
• 最终通过结合 $L^2$ 型估计与 $\ell^2$-集中性论证，获得相对于平凡界 $X^{-1/8 + \varepsilon}$ 的幂次节省。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为形如 $\sum_n A_f(1,n+h) r_3(n) \phi(n/X)$ 的偏移卷积和建立非平凡、无条件的上界，其中 $A_f$ 为 $GL_3$ Hecke-Maass cusp 形式，$r_3(n)$ 表示三平方表示数？
• RQ2 为何标准方法如 Jutila 的圆法在此 $GL_3$-to-$\theta$-series 设置下失效？是否存在替代技术可克服此障碍？
• RQ3 此类和的混合界 $X^{3/2 - \delta + \varepsilon}$ 中最优指数 $\delta$ 是多少？能否在基于 Ramanujan 猜想的条件估计之上进一步改进？
• RQ4 相关指数和的 Newton 多面体 $\Delta(f)$ 的结构如何影响特征和中的抵消？
• RQ5 该方法能否推广至 $\ell \geq 4$ 的 $r_\ell(n)$？在高维情形下，指数 $\delta = 1/8$ 是否仍成立？

主要发现

• 本文建立了无条件界 $\sum_{n \geq 1} A_f(1,n+h) r_3(n) \phi(n/X) \ll_{f,\varepsilon} X^{3/2 - 1/8 + \varepsilon}$，其中 $1 \leq h \leq X$，该界强于在 Ramanujan 猜想下得到的条件界 $X^{3/2 + \varepsilon}$。
• 该界通过新颖分析三重特征和 $\mathscr{C}(b_1,b_2,b_3,n_1,n_2,h,v;q)$ 实现，关键步骤为证明 $\widetilde{\mathscr{T}}(p) \ll (h,p)^{1/2} p$，利用关联洛朗多项式在 $\mathbb{F}_p^\times$ 上的非退化性。
• 该方法避免依赖于 $r_3(n)$ 的 Kloosterman 和估计，这些估计不足以支持 Jutila 的圆法，转而采用基于 Newton 多面体与指数和估计的 $\epsilon$-移除技术。
• 该界对平移 $h$ 一致，且方法可推广至 $r_\ell(n)$（$\ell \geq 4$），预期在高维中 $-1/8$ 指数仍成立。
• 在特殊情形下，当 $A_f(1,n)$ 被三重除数函数 $\tau_3(n)$ 取代时，由于 $\tau_3(n)$ 的 $n^\varepsilon$-界，指数可改进至优于 $-1/8$，从而获得更优节省。
• 结果表明，即使在缺乏强 $GL_2$-型指数和估计的情况下，仍可通过代数几何与特征和技术从 $GL_3$-to-$\theta$-series 卷积和中提取深层抵消。