[论文解读] Shock Wave Interactions in General Relativity: The Geometry behind Metric Smoothing and the Existence of Locally Inertial Frames

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文確立了通過坐標變換將 $C^{0,1}$（Lipschitz 連續）時空度規平滑至 $C^{1,1}$ 正則性的必要且充分條件，表明這種平滑僅在度規連絡的奇異部分可延拓為黎曼平坦連絡時才可能實現。本文證明了在球對稱衝擊波時空中，即使度規無法平滑，局部慣性系依然存在，為 Glimm 方案提供了新的正則性結果。

ABSTRACT

We prove a necessary and sufficient condition for determining the essential smoothness of weak solutions of the Einstein equations at apparent singularities where the gravitational metric tensor is only Lipschitz continuous, but the tensor is in $L^{\infty}$, a regularity so low that locally inertial frames might not exist. Namely, we prove that the question whether there exists a coordinate transformation which smooths a metric from $C^{0,1}$ to $C^{1,1}$ in a neighborhood of a point is equivalent to the condition that the singular part of the metric connection can be extended to a Riemann flat connection in that neighborhood. This applies to shock-wave solutions in General Relativity, and the framework leads to a definition of the curvature of the singular part of a connection, (i.e., the of the shock-set), and we prove that this vanishes if and only if the spacetime metric can be smoothed within the $C^{1,1}$ atlas. As an application of our method we prove that locally inertial frames always exist in a natural sense for shock wave metrics in spherically symmetric spacetimes, a new regularity result for the Glimm scheme, independent of whether the metric itself can be smoothed in a neighborhood.

研究动机与目标

• 確定廣義相對論中 $C^{0,1}$ 度規透過坐標變換可平滑至 $C^{1,1}$ 的幾何條件。
• 定義並分析連絡奇異部分的曲率，特別是在時空衝擊前鋒處的情況。
• 建立球對稱衝擊波解中局部慣性系的存在性，且不依賴度規的平滑性。
• 在廣義相對論中衝擊波相互作用的背景下，為 Glimm 方案提供新的正則性結果。

提出的方法

• 作者分析度規連絡在 $C^{0,1}$ 正則性點的結構，專注於連絡的奇異部分。
• 他們提出一個幾何條件：度規連絡的奇異部分在鄰域內可延拓為黎曼平坦連絡，當且僅當度規可透過坐標變換平滑至 $C^{1,1}$。
• 嚴謹定義奇異連絡的曲率，並證明其僅在度規可平滑時才會消失。
• 該方法適用於廣義相對論中的衝擊波解，特別是在球對稱時空中。
• 該框架使用微分幾何工具與愛因斯坦方程的弱解理論，專注於 $L^∞$-正則度規。
• 分析依賴於 $C^{1,1}$ 坐標圖集的存在性與奇異連絡的黎曼平坦性之間的等價關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種幾何條件下，$C^{0,1}$ 時空度規可透過坐標變換平滑至 $C^{1,1}$？
• RQ2 在愛因斯坦方程弱解的背景下，能否對連絡奇異部分的曲率做出有意義的定義？
• RQ3 衝擊波時空中局部慣性系的存在性是否依賴於度規的可平滑性？
• RQ4 是否存在適用於球對稱時空中衝擊波解的 Glimm 方案正則性結果？

主要发现

• $C^{0,1}$ 度規在鄰域內可平滑至 $C^{1,1}$，當且僅當度規連絡的奇異部分在該鄰域內可延拓為黎曼平坦連絡。
• 奇異連絡的曲率消失，當且僅當度規可在 $C^{1,1}$ 圖集中平滑。
• 即使度規非 $C^{1,1}$，在球對稱時空中衝擊波度規仍自然地存在局部慣性系。
• 該結果為 Glimm 方案提供了獨立於度規可平滑性的新正則性保障。
• 該框架提供了一個既必要又充分的度規平滑幾何準則，適用於廣義相對論中的弱解。