[论文解读] Shor's algorithm with fewer (pure) qubits

Christof Zalka|ArXiv.org|Jan 15, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 19

一句话总结

本文提出了一种改进版的Shor算法，通过消除对大多数量子比特进行初始化的需求，并利用叠加余数的模算术，将所需纯量子比特数量从约2n减少到约1.5n。该方法引入了一种改进的模乘法技术与三进制量子傅里叶变换，以保持效率，从而在通过经典预计算和近似量子操作保持正确性的同时，实现显著的量子比特节省。

ABSTRACT

In this note we consider optimised circuits for implementing Shor's quantum factoring algorithm. First I give a circuit for which none of the about 2n qubits need to be initialised (though we still have to make the usual 2n measurements later on). Then I show how the modular additions in the algorithm can be carried out with a superposition of an arithmetic sequence. This makes parallelisation of Shor's algorithm easier. Finally I show how one can factor with only about 1.5n qubits, and maybe even fewer.

研究动机与目标

• 减少Shor因数分解算法所需的量子比特数量，特别是必须初始化为|0⟩的量子比特数量。
• 通过修改模乘法操作，消除标准电路中对约2n个量子比特全部初始化的需求。
• 通过一种新颖的量子方法，利用算术序列的叠加，实现模加法的并行化。
• 通过将n比特模乘法分解为更小的操作，实现量子比特数量的可扩展减少，目标为1.5n个量子比特或更少。

提出的方法

• 修改受控模乘法，使其作用为|α,β⟩ → |a·α, a⁻¹·β⟩ mod N，而无需额外的工作量子比特，将两次乘法替换为三次操作。
• 引入一种“三进制”量子傅里叶变换，以补偿因修改乘法步骤而增加的门数。
• 使用形式为∑|b + xN⟩的叠加态来表示n量子比特数，从而在无需完整模约简的情况下实现近似模加法。
• 应用Draper的傅里叶加法技术，利用量子傅里叶变换高效执行模加法。
• 通过扩展欧几里得算法的中间结果，将n比特模乘法分解为两个n/2比特乘法。
• 采用经典预计算和可逆电路，将计算负担从量子处理转移到经典处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shor算法能否在初始化的量子比特少于标准的2n个的情况下实现？如果可以，电路应如何修改以避免初始化？
• RQ2 能否通过使用算术序列的叠加而非标准模算术，更高效地在量子电路中执行模加法？
• RQ3 能否通过将n比特操作分解为更小的、低量子比特数的操作，将Shor算法的总量子比特数减少到2n以下？
• RQ4 能否通过使用近似量子操作和经典预计算，优化量子比特数量与电路深度之间的权衡？
• RQ5 使用改进版Shor算法分解一个n比特数，所需的最少量子比特数是多少？

主要发现

• 本文证明，Shor算法中约2n个量子比特均无需初始化为|0⟩，因为改进的模乘法保持了叠加态，并避免了对工作量子比特的需求。
• 提出了一种利用算术序列叠加的新型模加法方法，可实现显著的并行化，并将电路深度降低至O(n²)。
• 通过利用扩展欧几里得算法的中间结果，将n比特模乘法分解为两个n/2比特乘法，量子比特数量减少至约1.5n。
• 所提出的电路仅使用1个工作量子比特进行模加法，并利用Draper的傅里叶加法技术，总量子比特数为⌈1.5n⌉ + 2（当n为奇数时）。
• 通过进一步分解n/2比特组件，该方法具有进一步减少量子比特数量的潜力，表明在对中间值进行额外经典因数分解后，量子比特数可能低至1.1n。
• 该方法通过经典预计算和近似量子操作保持正确性，且可通过中间数值的经典因数分解实现进一步优化。