[论文解读] Short-time expansions for close-to-the-money options under a Lévy jump model with stochastic volatility

José E. Figueroa‐López, Sveinn Ólafsson|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文将针对平值期权价格的二阶短时展开扩展至接近平值的行权价，并适用于 Lévy 跳跃框架下的随机波动率模型。研究证明，在 Lévy 密度的可积性条件最弱的情况下，该展开依然有效；并进一步推广至独立随机波动率模型，用均值回归波动率过程替代布朗运动成分，保持相同的渐近结构，仅需调整波动率参数。

ABSTRACT

In Figueroa-López et al. (2013), a second order approximation for at-the-money (ATM) option prices is derived for a large class of exponential Lévy models, with or without a Brownian component. The purpose of this article is twofold. First, we relax the regularity conditions imposed in Figueroa-López et al. (2013) on the Lévy density to the weakest possible conditions for such an expansion to be well defined. Second, we show that the formulas extend both to the case of "close-to-the-money" strikes and to the case where the continuous Brownian component is replaced by an independent stochastic volatility process with leverage.

研究动机与目标

• 放松先前针对平值期权短时展开中对 Lévy 密度的正则性条件，使其达到最弱可能的假设。
• 将二阶短时展开从平值期权扩展至 Lévy 跳跃模型下接近平值的行权价。
• 将结果推广至布朗运动成分被独立随机波动率过程取代的模型，并引入杠杆效应。
• 在最小可积性条件下建立展开式的有效性，具体为 ∫|x|≤1 |x|−Y |1−q̄(x)| dx < ∞。
• 证明当常数波动率被由漂移和扩散系数驱动的 SDE 所描述的随机波动率过程取代时，渐近公式依然保持稳健。

提出的方法

• 基于 Lévy-Khintchine 表示，采用摄动方法推导接近平值期权的二阶短时展开。
• 使用截断与逼近技术处理正则性最弱的 Lévy 过程，通过满足更强条件 (1.5) 的 q̄(x) 的过程进行逼近。
• 应用类似 Girsanov 的变换与时间改变布朗运动技术，分析波动率过程从有界区间中退出的首次 hitting 时间概率。
• 利用反射原理与 Bessel 过程估计，建立退出时间的指数尾部界。
• 通过测度变换与局部鞅表示，控制波动率过程退出某一区域的概率，确保其可积性及衰减速率达到 O(t^k)（对任意 k ∈ ℕ）。
• 验证所得期权价格展开式保持与布朗运动情形相同的函数形式，仅将波动率参数 σ 替换为随机波动率过程的积分波动率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Lévy 跳跃模型下，平值期权的二阶短时展开是否可扩展至接近平值的行权价？
• RQ2 为使二阶展开保持良好定义，Lévy 密度所需的最小条件集为何？
• RQ3 当常数扩散成分被独立的随机波动率过程取代时，展开是否依然有效？
• RQ4 引入随机波动率后，渐近公式如何变化，特别是在展开式中波动率参数的变化？
• RQ5 是否可在更弱的正则性假设下（如仅要求 |1−q̄(x)| 在零附近可积）证明展开式的合理性？

主要发现

• 在相同最小可积性条件 ∫|x|≤1 |x|−Y |1−q̄(x)| dx < ∞ 下，平值期权的二阶短时展开对接近平值的行权价依然有效。
• 先前工作中提出的正则性条件 (1.3) 实际上大多不必要；展开在保证良好定义的最弱条件下即成立。
• 该展开可推广至随机波动率模型，其中布朗运动被满足 SDE (1.6)–(1.7) 的独立扩散过程 (V_t) 所取代。
• 渐近公式保持其结构不变，仅将常数波动率 σ 替换为随机波动率过程的积分波动率，从而保证相同的收敛速度。
• 在漂移与扩散系数具有轻微正则性条件下，波动率过程退出有界区间的概率以快于任意多项式的速率衰减，且对初始条件一致。
• 关键技术步骤是构造时间改变的布朗运动，并利用 Bessel 过程估计来控制退出时间概率，从而实现 O(t^k) 阶的指数衰减（对任意 k ∈ ℕ）。