[论文解读] Shortest Path in a Polygon using Sublinear Space

Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在简单多边形中以亚线性空间和亚二次时间计算最短路径。通过将多边形分解为 O(n/m) 个大小为 O(m) 的走廊，并在违反者空间上使用 Seidel 线性规划算法的修改版（常数空间变体），该方法实现了 O(n²/m) 的期望时间复杂度，同时仅使用 O(m) 的工作内存，从而解决了 Asano 提出的关于避免二次预处理的开放问题。

ABSTRACT

$ enewcommand{\Re}{{ m I\!\hspace{-0.025em} R}} ewcommand{\SetX}{\mathsf{X}} ewcommand{\VorX}[1]{\mathcal{V} \pth{#1}} ewcommand{\Polygon}{\mathsf{P}} ewcommand{\Space}{\overline{\mathsf{m}}} ewcommand{\pth}[2][\!]{#1\left({#2} ight)}$ We resolve an open problem due to Tetsuo Asano, showing how to compute the shortest path in a polygon, given in a read only memory, using sublinear space and subquadratic time. Specifically, given a simple polygon $\Polygon$ with $n$ vertices in a read only memory, and additional working memory of size $\Space$, the new algorithm computes the shortest path (in $\Polygon$) in $O( n^2 /\, \Space )$ expected time. This requires several new tools, which we believe to be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决 Tetsuo Asano 提出的关于在不进行二次预处理的情况下计算多边形中最短路径的开放问题。
• 设计一种仅使用 O(m) 工作内存且时间复杂度为亚二次的算法，其中 m < n/log²n。
• 在嵌入式系统或流式处理环境等受限内存场景下，实现高效的最短路径计算。
• 为违反者空间问题开发一种空间高效解法，可应用于几何优化问题。

提出的方法

• 基于中轴线，将多边形分解为 O(n/m) 个走廊，每个走廊大小为 O(m)。
• 使用 Seidel 随机化线性规划算法的修改版本，在违反者空间问题上以期望线性时间复杂度和 O(1) 空间求解。
• 用伪随机序列替代真实的随机排列，以在保持期望性能的同时维持常数空间。
• 对修改后的算法应用反向分析，证明在使用伪随机序列时仍能保持正确性。
• 通过迭代遍历走廊，维护一个凸包结构，并利用凸包缩减技术追踪最短路径。
• 在标准分解中使用点定位查询以确定下一个走廊，利用违反者空间框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在仅使用 O(m) 工作内存且不进行二次预处理的情况下，以亚二次时间复杂度计算多边形中的最短路径？
• RQ2 是否可以仅使用 O(1) 空间在期望线性时间内求解违反者空间问题？
• RQ3 当使用伪随机序列而非真实随机排列时，反向分析是否仍然有效？
• RQ4 是否可以利用走廊分解来降低几何最短路径计算中的时空权衡？

主要发现

• 该算法在 m = O(n/log²n) 条件下，以 O(m) 工作内存实现 O(n²/m) 的期望时间复杂度计算最短路径。
• 通过修改 Seidel 算法并使用伪随机序列，违反者空间问题可在仅使用 O(1) 空间的情况下以期望线性时间求解。
• 当使用伪随机序列时，反向分析依然有效，确保了算法的正确性和期望性能。
• 凸包缩减步骤每走廊需 O(log m) 次查询，但通过在大小为 O(m/4) 时停止，可优化为每走廊常数次查询。
• 对于一般 m，总运行时间为 O(n²/m + n log m log⁴(n/m))，当 m = O(n/log²n) 时，可优化为 O(n²/m)。
• 该方法通过消除对二次预处理的需求，同时保持亚二次时间复杂度，从而解决了 Asano 的开放问题。