[论文解读] Shuffles of deformed permutahedra, multiplihedra, constrainahedra, and biassociahedra

Frédéric Chapoton, Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2022

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文引入了一种在形变对称单纯形（deformed permutahedra）上的新型交错操作——该类多面体通过图的扎诺托普（zonotopes）定义——证明了：m-对称单纯形与n-关联单纯形的交错操作可生成(m,n)-多重乘法多面体，两个关联单纯形的交错操作可生成(m,n)-约束多面体，而反关联单纯形与关联单纯形的交错操作可生成(m,n)-双关联单纯形。其核心贡献在于首次完整实现了双关联单纯形的凸多面体表示，给出了顶点、面及闵可夫斯基和的显式描述，并基于带装饰的树结构推导出f-多项式的生成函数。

ABSTRACT

We introduce the shuffle of deformed permutahedra (a.k.a. generalized permutahedra), a simple associative operation obtained as the Cartesian product followed by the Minkowski sum with the graphical zonotope of a complete bipartite graph. Besides preserving the class of graphical zonotopes (the shuffle of two graphical zonotopes is the graphical zonotope of the join of the graphs), this operation is particularly relevant when applied to the classical permutahedra and associahedra. First, the shuffle of an $m$-permutahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-multiplihedron, whose face structure is encoded by $m$-painted $n$-trees, generalizing the classical multiplihedron. We show in particular that the graph of the $(m,n)$-multiplihedron is the Hasse diagram of a lattice generalizing the weak order on permutations and the Tamari lattice on binary trees. Second, the shuffle of an $m$-associahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-constrainahedron, whose face structure is encoded by $(m,n)$-cotrees, and reflects collisions of particles constrained on a grid. Third, the shuffle of an $m$-anti-associahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-biassociahedron, whose face structure is encoded by $(m,n)$-bitrees, with relevant connections to bialgebras up to homotopy. We provide explicit vertex, facet, and Minkowski sum descriptions of these polytopes, as well as summation formulas for their $f$-polynomials based on generating functionology of decorated trees.

研究动机与目标

• 通过在形变对称单纯形上引入一种新型交错操作，统一地构造多重乘法多面体、约束多面体和双关联单纯形的几何实现。
• 解决长期存在的双关联单纯形作为凸多面体实现的问题，此前仅知其为拓扑胞复形。
• 为这些新多面体建立显式的顶点、面及闵可夫斯基和的描述，尤其针对双关联单纯形。
• 通过带装饰的树组合学推导f-多项式的生成函数，实现按维数对面的计数。
• 通过交错构造将经典格结构（弱序、塔马里格）推广至高维多面体设置。

提出的方法

• 将交错操作定义为笛卡尔积后，再与完全二分图的图扎诺托普进行闵可夫斯基和。
• 证明交错操作保持图扎诺托普类的封闭性，且两个图扎诺托普的交错操作对应于其底图的并图的扎诺托普。
• 使用着色树（m-着色n-树）编码(m,n)-多重乘法多面体的面结构，并证明其面格同构于广义弱序。
• 引入(m,n)-余树与(m,n)-双树，分别编码约束多面体与双关联单纯形的面结构。
• 通过递归树构造与相容节点划分，构建顶点与面的显式描述。
• 通过在卡塔兰数与施罗德数生成函数中代入，推导f-多项式的生成函数，并加入减法项以排除退化情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将(m,n)-多重乘法多面体实现为一个凸多面体，其面格同时推广了排列的弱序与二叉树的塔马里格？
• RQ2 (m,n)-约束多面体的组合结构是什么？它如何建模在(m×n)网格上粒子的碰撞？
• RQ3 如何将(m,n)-双关联单纯形实现为一个凸多面体？其面格结构与同伦意义下的双代数有何关系？
• RQ4 这些新多面体的显式顶点、面及闵可夫斯基和描述是什么？
• RQ5 这些多面体的f-多项式生成函数是什么？它们与带装饰树有何关联？

主要发现

• (m,n)-多重乘法多面体通过m-对称单纯形与n-关联单纯形的交错操作实现为凸多面体，其面格同构于一个推广弱序与塔马里格的格结构。
• (m,n)-约束多面体由两个关联单纯形的交错操作生成，编码了(m×n)-网格中的最大矩形括号化结构，其面结构由(m,n)-余树控制。
• (m,n)-双关联单纯形是首个完整的凸多面体实现，其顶点对应于二叉(m,n)-双树，面由施罗德树与冠状树描述。
• (m,n)-双关联单纯形的顶点数由一个生成函数给出，该函数涉及卡塔兰生成函数C(x)与修正版C*(x)的迭代复合。
• (m,n)-双关联单纯形的面数为(2m−1)(2n−1) + (m+1 choose 2) + (n+1 choose 2) −1，反映了不同树类型对结果的贡献。
• (3,3)-双关联单纯形的f-向量为f(Bias(3,3)) = (1, 606, 1549, 1382, 497, 60, 1)，与(3,3)-约束多面体的f-向量(1, 606, 1550, 1384, 498, 60, 1)略有不同。