[论文解读] $\Sigma_2^p$-complete Problems on Hedonic Games

Dominik Peters|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Game Theory and Voting Systems被引用 3

一句话总结

本文证明了在加法可分偏好下，决策核心与严格核心稳定划分的 Σ₂^p-完全性，即使在对称估值和有界交互条件下依然成立。此外，本文还证明了在二元偏好博弈中严格核心非空性的 Σ₂^p-完全性，并表明当变量出现次数有界时，TRUE-∃∀-3DNF 仍保持 Σ₂^p-难。

ABSTRACT

Hedonic games provide a general model of coalition formation, in which a set of agents is partitioned into coalitions, with each agent having preferences over which other players are in her coalition. We prove that with additively separable preferences, it is $\Sigma_2^p$-complete to decide whether a core- or strict-core-stable partition exists, extending a result of Woeginger (2013). Our result holds even if valuations are symmetric and non-zero only for a constant number of other agents. We also establish $\Sigma_2^p$-completeness of deciding non-emptiness of the strict core for hedonic games with dichotomous preferences. Of more general interest, we prove that TRUE-$\exists\forall$-3DNF remains $\Sigma_2^p$-hard even if no variable occurs more than three times.

研究动机与目标

• 确定在加法可分偏好下，决策核心与严格核心稳定划分的计算复杂度。
• 通过证明在对称估值和有限交互条件下的 Σ₂^p-完全性，扩展 Woeginger (2013) 的先前工作。
• 研究在二元偏好下，严格核心非空性的复杂度。
• 考察当变量出现次数有界时，TRUE-∃∀-3DNF 的复杂度。
• 在各种偏好模型下，建立稳定联盟形成的紧致复杂度界限。

提出的方法

• 从已知的 Σ₂^p-完全问题进行归约，以证明在加法可分对偶性博弈中核心稳定性的难解性。
• 构建对称且稀疏的估值函数，其中仅常数个代理人具有非零估值，以在结构约束下证明难解性。
• 使用一种新颖的归约框架，证明在二元偏好博弈中严格核心非空性的 Σ₂^p-完全性。
• 证明当每个变量最多出现三次时，TRUE-∃∀-3DNF 仍保持 Σ₂^p-难。
• 利用量化布尔公式的性质，建立计算复杂度的下界。
• 通过同时证明难解性和属于 Σ₂^p，对所有研究问题完成完备性形式化证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在加法可分对偶性博弈中，决策核心稳定划分存在的问题是否为 Σ₂^p-完全？
• RQ2 当估值对称且仅常数个代理人具有非零估值时，复杂度是否仍为 Σ₂^p-完全？
• RQ3 在二元偏好对偶性博弈中，严格核心非空性是否为 Σ₂^p-完全？
• RQ4 当每个变量最多出现三次时，TRUE-∃∀-3DNF 是否仍为 Σ₂^p-难？
• RQ5 在偏好结构约束下，稳定联盟形成的复杂度能否被紧致界定？

主要发现

• 在加法可分对偶性博弈中，决策核心稳定划分是 Σ₂^p-完全的，即使在对称估值和有界交互条件下亦然。
• 在相同约束下，严格核心稳定划分的 Σ₂^p-完全性结果同样成立。
• 在具有二元偏好的对偶性博弈中，严格核心非空性为 Σ₂^p-完全。
• 当每个变量最多出现三次时，TRUE-∃∀-3DNF 仍保持 Σ₂^p-难。
• 这些结果在各种偏好模型下建立了稳定联盟形成的紧致复杂度界限。
• 研究结果通过在更强结构约束下证明完备性，扩展并强化了 Woeginger (2013) 的先前工作。