[论文解读] Sign Problems in Quantum Field Theory: Classical and Quantum Approaches

Scott Ross Lawrence|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 117被引用 6

一句话总结

本文提出了两种克服量子场论中符号问题的方法：一是将场变量复化，并应用柯西积分定理以寻找最优积分路径；二是利用纠错量子计算机直接模拟量子场论。研究证明，在某些情况下符号问题可被完全消除，而在其他情况下改善则受到限制，并提出了精确的量子算法用于模拟量子色动力学。

ABSTRACT

Monte Carlo calculations in the framework of lattice field theory provide non- perturbative access to the equilibrium physics of quantum fields. When applied to certain fermionic systems, or to the calculation of out-of-equilibrium physics, these methods encounter the so-called sign problem, and computational resource require- ments become impractically large. These difficulties prevent the calculation from first principles of the equation of state of quantum chromodynamics, as well as the computation of transport coefficients in quantum field theories, among other things. This thesis details two methods for mitigating or avoiding the sign problem. First, via the complexification of the field variables and the application of Cauchy’s integral theorem, the difficulty of the sign problem can be changed. This requires searching for a suitable contour of integration. Several methods of finding such a contour are discussed, as well as the procedure for integrating on it. Two notable examples are highlighted: in one case, a contour exists which entirely removes the sign problem, and in another, there is provably no contour available to improve the sign problem by more than a (parametrically) small amount. As an alternative, physical simulations can be performed with the aid of a quantum computer. The formal elements underlying a quantum computation — that is, a Hilbert space, unitary operators acting on it, and Hermitian observables to be measured — can be matched to those of a quantum field theory. In this way an error-corrected quantum computer may be made to serve as a well controlled laboratory. Precise algorithms for this task are presented, specifically in the context of quantum chromodynamics.

研究动机与目标

• 解决格点场论中的符号问题，该问题阻碍了费米子系统和非微扰动力学的非微扰计算。
• 探讨场变量复化与路径形变是否能缓解或消除符号问题。
• 在容错量子计算机上开发精确的量子算法，用于模拟量子色动力学。
• 建立量子场论结构与量子计算形式元素之间的正式对应关系。
• 确定基于路径的符号问题缓解方法的极限，包括改善被严格证明最小的情况。

提出的方法

• 在路径积分表述中复化场变量，以允许在复平面上进行路径形变。
• 应用柯西积分定理，将积分路径移动，使得相位涨落被减少或消除。
• 开发在复化路径上积分的数值程序，包括定位合适路径的方法。
• 识别出存在完全消除符号问题的路径的案例，以及改善受到限制的案例。
• 将量子场论的形式结构——希尔伯特空间、幺正演化和可观测量——映射到量子计算框架中。
• 设计针对容错量子计算机上模拟量子色动力学的精确量子算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在某些费米子量子场论中，是否可通过复化场空间中的路径形变完全消除符号问题？
• RQ2 在何种数学和计算条件下，存在能消除符号问题的路径？
• RQ3 当不存在能完全消除符号问题的路径时，符号问题能被缓解到何种程度？
• RQ4 如何将量子场论的形式结构映射到量子计算机的操作中以实现模拟？
• RQ5 在纠错量子计算机上模拟量子色动力学所需的精确量子算法是什么？

主要发现

• 在某一类模型中，存在合适的复化路径，可完全消除符号问题，从而实现精确模拟。
• 在另一类模型中，通过路径形变所能实现的改善被严格证明仅限于（参数上）较小的符号问题减少。
• 柯西积分定理的应用为将符号问题转化为路径寻找问题提供了严格的框架。
• 可通过匹配希尔伯特空间、幺正演化和厄米可观测量，将量子计算机形式映射到量子场论。
• 已开发出精确的量子算法，使在纠错量子硬件上模拟量子色动力学成为可能。
• 本工作为量子场论中状态方程和输运系数的第一性原理计算奠定了基础。