[论文解读] Simple algebraic groups are (usually) determined by an invariant

Skip Garibaldi, Robert M. Guralnick|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文证明，包括 E8 型在内的简单代数群通常作为不可约有理 G-模上某个齐次多项式不变量的稳定子群的单位连通分支被实现。它确立了这些群作为 Lie(E8) 上八次型的自同构群，并对 G 及其扩张群具有同构不变量的模进行了分类，表明在奇特征下，三次多项式通常已足够。

ABSTRACT

Let G be a simple algebraic group over an algebraically closed field k and V be a irreducible rational kG-module. We show that, for a typical G-invariant polynomial function f on V, the identity component of the stabilizer of f in GL(V) is G. As a specific example, we show that groups of type E8 are automorphism groups of certain degree 8 homogeneous forms on Lie(E8). We also classify all irreducible G-modules V such that the dimension of the invariant rings for G and H are the same with G < H < SL(V). We also show that for characteristic not 2, there almost always exists an irreducible tensor indecomposable kG-module so that G is the identity component of the stabilizer in SL(V) of a homogeneous polynomial that has degree at most 3.

研究动机与目标

• 确定简单代数群 G 何时是不可约有理 G-模 V 上 G-不变多项式 f 的稳定子群在 GL(V) 中的单位连通分支。
• 刻画不可约 G-模 V，使得 G 及其任意扩张群 H（满足 G < H < SL(V)）的不变量环具有相同的维数。
• 证明当特征 ≠ 2 时，存在一个不可约张量不可约的 G-模，使得 G 作为某个次数 ≤ 3 的齐次多项式的稳定子群的单位连通分支被实现。
• 对例外群（如 E8）提供此类不变量的显式构造，使用 E8 的伴随模上的八次型。

提出的方法

• 利用代数闭域上简单代数群的表示理论，分析不可约有理 G-模上 G-不变多项式函数。
• 分析 GL(V) 中一个典型 G-不变多项式 f 的稳定子子群，重点关注其单位连通分支。
• 通过比较 G 与扩张群 H 的不变量环的维数，对具有同构不变量的模进行分类。
• 在 E8 的伴随模上显式构造八次齐次多项式，其自同构群恰好是稳定子群的单位连通分支。
• 利用张量不可约模与低次不变量的理论，在奇特征下降低定义多项式的次数。
• 利用 E8 的李代数结构，定义并分析在伴随作用下不变的八次型。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些不可约有理 G-模 V，GL(V) 中 G-不变多项式 f 的稳定子群的单位连通分支等于 G 本身？
• RQ2 当 G 和 H < SL(V) 的不变量环同构时，何时成立？哪些模 V 满足此条件？
• RQ3 在奇特征下，能否将简单代数群 G 实现为某个次数至多为 3 的齐次多项式的稳定子群的单位连通分支？
• RQ4 E8 的伴随模上八次齐次型的自同构群的结构如何？
• RQ5 当 G 是简单群且 H 是 G 的真扩张群时，G 与 H < SL(V) 的不变量如何比较？

主要发现

• 对于不可约有理 G-模 V 上的典型 G-不变多项式 f，f 在 GL(V) 中的稳定子群的单位连通分支即为 G 本身。
• E8 型群被实现为 Lie(E8) 的伴随模上某些八次齐次型的自同构群。
• 存在一个不可约 G-模 V 的分类，使得 G 及其任意扩张群 H < SL(V) 的不变量环维数相同。
• 在特征 ≠ 2 时，总存在一个不可约张量不可约的 G-模 V，使得 G 是 SL(V) 中某个次数 ≤ 3 的齐次多项式稳定子群的单位连通分支。
• 在 V 上，典型 G-不变多项式 f 的稳定子群通常尽可能小，且 G 即为其单位连通分支。
• E8 的构造依赖于伴随表示上一个特定的八次型，其自同构群恰好是稳定子群的单位连通分支。