[论文解读] Simple and Near-Optimal Distributed Coloring for Sparse Graphs

Mohsen Ghaffari, Christiana Lymouri|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种简单的随机分布式算法，用于对稀疏图进行着色，使用的颜色数量与树度数 α 近似最优地缩放。通过结合 H-划分与迭代随机颜色选择，并辅以确定性收尾阶段，该算法在 O(log n · min{log log n, log α}) 轮内实现 O(α) 种颜色，几乎匹配理论下界 Ω(logα n) 轮。

ABSTRACT

Graph coloring is one of the central problems in distributed graph algorithms. Much of the research on this topic has focused on coloring with $Δ+1$ colors, where $Δ$ denotes the maximum degree. Using $Δ+1$ colors may be unsatisfactory in sparse graphs, where not all nodes have such a high degree; it would be more desirable to use a number of colors that improves with sparsity. A standard measure that captures sparsity is arboricity, which is the smallest number of forests into which the edges of the graph can be partitioned. We present simple randomized distributed algorithms that, with high probability, color any $n$-node $α$-arboricity graph: - using $(2+\varepsilon)\cdot α$ colors, for constant $\varepsilon>0$, in $O(\log n)$ rounds, if $α= ildeΩ(\log n)$, or - using $O(α\log α)$ colors, in $O(\log n)$ rounds, or - using $O(α)$ colors, in $O(\log n \cdot \min\{\log\log n,\; \log α\})$ rounds. These algorithms are nearly-optimal, as it is known by results of Linial [FOCS'87] and Barenboim and Elkin [PODC'08] that coloring with $Θ(α)$ colors, or even poly$(α)$ colors, requires $Ω(\log_α n)$ rounds. The previously best-known $O(\log n)$-time result was a deterministic algorithm due to Barenboim and Elkin [PODC'08], which uses $Θ(α^2)$ colors. Barenboim and Elkin stated improving this number of colors as an open problem in their Distributed Graph Coloring Book.

研究动机与目标

• 解决在 Δ 较大但树度数 α 较小的稀疏图中 Δ+1 着色效率低下的问题。
• 设计一种分布式算法，其使用颜色数量随图的稀疏性（以树度数 α 衡量）而改善。
• 实现近乎最优的轮数复杂度与颜色数量，缩小已知下界与先前上界之间的差距。
• 解决 Barenboim 和 Elkin 提出的开放问题：在 O(log n) 轮内将颜色数量从 O(α²) 减少到 O(α)。

提出的方法

• 构建一个度数上界为 d ≤ (2 + ε/2)·α 且 ℓ = ⌈(1/ε) log n⌉ 层的 H-划分，以支持局部着色。
• 使用一种随机迭代过程：H_j 层中每个未着色节点从大小为 (2+ε)·α 的调色板中随机选择一种颜色。
• 若某节点的邻居在同一轮中均未选择该颜色，则该节点永久保留该颜色，从而确保无冲突分配。
• 对剩余图应用确定性收尾阶段，该图以高概率不包含长度超过 O(log n) 的路径。
• 利用每个节点最多有 d 个未着色出邻居的事实，确保至少存在一种颜色可用。
• 结合随机与确定性阶段，实现 O(log n · min{log log n, log α}) 轮复杂度，使用 O(α) 种颜色。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种分布式算法，在近乎最优时间内使用 O(α) 种颜色对稀疏图进行着色？
• RQ2 是否可能在 O(log n) 轮内将树度数为 α 的图的颜色数量从 O(α²) 减少到 O(α)？
• RQ3 如何在稀疏图的分布式着色中实现颜色数量与轮数复杂度之间的权衡？
• RQ4 实现 O(α) 着色所需的最小轮数复杂度是多少？我们能否几乎匹配已知的下界？
• RQ5 简单的随机方法结合确定性收尾阶段是否能在分布式着色中实现近乎最优的结果？

主要发现

• 当 α = ~Ω(log n) 时，该算法在 O(log n) 轮内实现 (2+ε)·α 种颜色，与最佳已知颜色数量一致，但轮数复杂度更优。
• 对于一般 α，该算法在 O(log n) 轮内使用 O(α log α) 种颜色，优于先前的确定性 O(α²)-着色算法。
• 在最佳情形下，该算法在 O(log n · min{log log n, log α}) 轮内使用 O(α) 种颜色，几乎匹配 Ω(logα n) 的下界。
• 任意节点在随机阶段后仍保持未着色的概率至多为 d⁻²，且该概率在各节点间相互独立。
• 部分着色后的剩余图以高概率不包含长度超过 O(log n) 的路径，从而支持高效的确定性收尾。
• 确定性收尾阶段在 O(log n) 轮内完成，因为每个节点最多等待 O(log n) 轮即可等待其邻居完成着色。