[论文解读] Simple Graph Coloring Algorithms for Congested Clique and Massively Parallel Computation.

Manuela Fischer, Mohsen Ghaffari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于图着色的简单随机划分技术，在 CONGESTED CLIQUE 和大规模并行计算（MPC）模型中均实现了最优的 $(\Delta+1)$-着色。在 CONGESTED CLIQUE 模型中，其轮数复杂度降低至 $O(\log^* \Delta)$，并在 MPC 模型中实现了首个使用 $O(n^\alpha)$ 每台机器内存和 $\widetilde{O}(m)$ 总内存的亚对数时间算法。

ABSTRACT

We present a very simple randomized partitioning procedure for graph coloring, which leads to simplification or improvements of some recent distributed and parallel coloring algorithms. In particular, we get a simple $(\Delta+1)$ coloring algorithm with round complexity $O(\log^* \Delta)$ in the CONGESTED CLIQUE model of distributed computing. This matches the bound of Parter and Su [DISC'18], which improved on the $O(\log\log \Delta \log^* \Delta)$-round algorithm of Parter [ICALP'18]. Moreover, the same random partitioning leads to a $(\Delta+1)$ coloring algorithm with round complexity $O(\log^* \Delta+ \sqrt{\log\log n})$ in the Massively Parallel Computation (MPC) model with strongly sublinear memory, which is the first sublogarithmic-time algorithm in this regime. This algorithm uses a memory of $O(n^{\alpha})$ per machine, for any desirable constant $\alpha>0$, and a total memory of $\widetilde{O}(m)$, where $m$ is the size of the graph.

研究动机与目标

• 使用一种新颖的划分方法，简化并改进近期的分布式与并行图着色算法。
• 在 CONGESTED CLIQUE 模型中实现最优的 $(\Delta+1)$-着色，且轮数复杂度接近最小化。
• 在 MPC 模型中设计一个使用每台机器强次线性内存的亚对数时间着色算法。
• 提供一个统一且简单的框架，适用于多种并行与分布式模型。

提出的方法

• 使用随机划分过程将图分解为更小、更易管理的子问题。
• 每个顶点根据共享的随机种子被分配到一个随机分区，从而实现负载均衡并减少通信开销。
• 划分允许对子图独立着色，随后通过局部协调解决跨分区的冲突。
• 该方法利用了先前算法中 $\log^* \Delta$ 轮复杂度的特性，但通过划分更简单地实现了该目标。
• 确保 MPC 模型中所有机器的总内存使用量保持在 $\widetilde{O}(m)$。
• 该方法具有通用性，可适用于任意 $\alpha > 0$，从而实现每台机器 $O(n^\alpha)$ 的内存使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种简单的随机划分技术，在 CONGESTED CLIQUE 模型中以 $O(\log^* \Delta)$ 轮实现最优的 $(\Delta+1)$-着色？
• RQ2 能否在每台机器使用强次线性内存约束下，设计出一个 $(\Delta+1)$-着色的亚对数时间 MPC 算法？
• RQ3 所提出的划分方法在效率和简洁性方面与先前复杂的分布式着色算法相比如何？
• RQ4 该技术是否可以仅作最小修改就同时适配 CONGESTED CLIQUE 和 MPC 模型？
• RQ5 在 MPC 模型中使用每台机器 $O(n^\alpha)$ 内存时，内存与轮数复杂度之间的权衡如何？

主要发现

• 该算法在 CONGESTED CLIQUE 模型中实现了 $O(\log^* \Delta)$ 轮的 $(\Delta+1)$-着色，达到了已知最佳轮数复杂度。
• 相同的划分方法产生了首个在每台机器使用 $O(n^\alpha)$ 内存下实现亚对数时间的 MPC 算法。
• MPC 算法使用了 $\widetilde{O}(m)$ 的总内存，使其在大规模图上高效且可扩展。
• 该方法简化了先前复杂的算法，同时保持或改善了轮数复杂度。
• 该方法在不同模型间具有鲁棒性，为分布式与并行着色提供了一个统一的框架。
• 该算法是随机化的且高效，仅依赖于简单的随机划分和局部协调。