[论文解读] Simple model of bouncing ball dynamics. Displacement of the limiter assumed as a cubic function of time

Andrzej Okniński, B. Radziszewski|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种可解析处理的弹跳小球模型，该模型与随时间呈周期性三次函数变化的限位器发生碰撞，实现了对碰撞时刻和动力学行为的精确计算。主要贡献在于对颤动（chattering）和滑行（grazing）条件的解析推导，表明混沌带通过固定点的倍周期分岔后发生角点型分岔而出现。

ABSTRACT

Nonlinear dynamics of a bouncing ball moving vertically in a gravitational field and colliding with a moving limiter is considered and the Poincare map, describing evolution from an impact to the next impact, is described. Displacement of the limiter is assumed as periodic, cubic function of time. Due to simplicity of this function analytical computations are possible. Several dynamical modes, such as fixed points, 2 - cycles and chaotic bands are studied analytically and numerically. It is shown that chaotic bands are created from fixed points after first period doubling in a corner-type bifurcation. Equation for the time of the next impact is solved exactly for the case of two subsequent impacts occurring in the same period of limiter's motion making analysis of chattering possible.

研究动机与目标

• 开发一个简单但可解析求解的弹跳小球模型，其限位器作周期性运动。
• 通过采用三次位移函数，克服标准正弦限位器模型中碰撞时刻方程难以求解的问题。
• 实现对非光滑动力系统中复杂动力学行为（如颤动、滑行与混沌）的解析研究。
• 推导出在一个限位器周期内发生多次碰撞的精确条件，并分析其稳定性。
• 通过分岔分析表征混沌的起始机制，特别是倍周期分岔后出现的角点型分岔。

提出的方法

• 将限位器的位移建模为周期性三次函数 $ Y_c(T) = 12\tilde{T}(\tilde{T} - 1/2)(\tilde{T} - 1) $，其中 $ \tilde{T} = T - \lfloor T \rfloor $，以确保解析可处理性。
• 构建一个庞加莱映射（2.1），关联碰撞后的速度 $ V_i $ 与碰撞时刻 $ T_i $，其中 $ \Delta_{i+1} = T_{i+1} - T_i $，使用无量纲重力 $ \gamma $ 和恢复系数 $ R $。
• 通过在恒定加速度下求解运动的二次方程，推导出下一次碰撞时间 $ \Delta_{i+1} $ 的精确解析表达式，从而得到闭式非线性映射（3.12c,d）。
• 引入相对速度变量 $ v_i = V_i - G(3T_i^2 - 3T_i + 1/2) $ 以简化动力学行为，便于对滑行与颤动进行分析。
• 使用渐近展开（3.14）和近似映射（3.16）对颤动的最终阶段进行建模，假设 $ \lambda_i < 1 $ 以保证收敛性。
• 通过求解 $ T_{(\infty)} < 1 $ 推导出滑行（单周期内无限次碰撞）的解析条件，得到边界 $ T_B < T_i < T_C $（公式 3.21–3.22）。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用三次限位器位移函数如何实现弹跳小球系统中碰撞时刻的解析计算？
• RQ2 颤动（单个限位器周期内多次碰撞）发生的条件是什么？如何对其进行解析表征？
• RQ3 混沌带如何在系统中出现？其形成的分岔机制是什么？
• RQ4 滑行流形在动力学中起什么作用？它如何影响颤动的稳定性和收敛性？
• RQ5 能否为颤动过程中第 $ N $ 次碰撞的时间推导出精确或近似的解析表达式？

主要发现

• 系统中的混沌带起源于固定点，通过首次倍周期分岔后发生角点型分岔而形成，该结论由 $ R = 0.85 $ 且 $ \gamma \in [0, 0.06] $ 的分岔图证实。
• 下一次碰撞时间 $ \Delta_{i+1} $ 通过二次方程的精确解计算得出，从而得到闭式非线性映射（3.12c,d），实现了完整的解析处理。
• 颤动通过近似方程（3.16）进行解析建模，表明 $ \Delta_{i+1} \approx \frac{2v_i}{-3G + 2 + 6GT_i} $，当 $ \lambda_i < 1 $ 时保证收敛。
• 滑行流形仅在 $ T_* \geq \max(T_{cr}, 0) $ 时存在，其中 $ T_{cr} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3G} $，其在某一方向上稳定（特征值 $ \Lambda_1 = 1 $），在另一方向上为中性。
• 无限次碰撞（滑行）的条件为 $ \max(T_{A_1}, T_{A_2}, T_B) < T_i < T_C $，其中 $ T_B $ 和 $ T_C $ 由公式（3.21）和（3.22）给出，确保 $ T_{(\infty)} < 1 $。
• 颤动中第 $ N $ 次碰撞的时间精确计算为 $ T_{(N)} = T_i + \frac{2v_i}{-3G + 2 + 6GT_i} \cdot \frac{1 - R^N}{1 - R} $，表明碰撞间隔呈指数衰减。