[论文解读] Simple models of bouncing ball dynamics and their comparison

Andrzej Okniński, B. Radziszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一个简化版的分析模型，用于描述弹跳小球与周期性运动的桌面碰撞的情形，通过使用正弦桌面运动的二次和三次多项式近似，实现了碰撞时刻的可解分析计算。三次多项式模型 $ Y_{c_2}(T) $ 几乎完全复现了正弦情况下的分岔结构，包括完整的倍周期分岔至混沌的过程，同时通过三次代数方程保持了碰撞时刻方程的可解性，因此为研究振动冲击系统中的复杂非线性动力学提供了一种实用的替代方法。

ABSTRACT

Nonlinear dynamics of a bouncing ball moving in gravitational field and colliding with a moving limiter is considered. Several simple models of table motion are studied and compared. Dependence of displacement of the table on time, approximating sinusoidal motion and making analytical computations possible, is assumed as quadratic and cubic functions of time, respectively.

研究动机与目标

• 开发简化但精确的桌面运动模型，以近似正弦运动，同时允许碰撞时刻的解析计算。
• 比较这些模型与标准正弦桌面运动情况下的动力学行为，特别是分岔结构。
• 识别出一种基于多项式的模型，能够保留正弦系统中观察到的关键非线性特征，如倍周期分岔和混沌动力学。
• 确保下一碰撞时刻的方程保持可解析求解，从而支持对系统非线性动力学的更深层次理论分析。

提出的方法

• 碰撞之间的球体运动由重力作用下的牛顿运动定律控制，碰撞通过恢复系数 $ R $ 建模。
• 利用公式 (5a) 和 (5b) 构建庞加莱映射，通过桌面位移 $ Y(T) $ 关联连续碰撞时刻的时间和速度。
• 引入三种正弦桌面运动的多项式近似：分段二次函数 $ Y_q(T) $、光滑三次函数 $ Y_{c_1}(T) $，以及四段式三次函数 $ Y_{c_2}(T) $，三者均具有周期 1。
• 通过求解由公式 (5a) 导出的三次代数方程，确定下一次碰撞的时间 $ T_{i+1} $，从而保证解析可解性。
• 为每个模型计算分岔图，以对比周期轨道、倍周期分岔及混沌动力学的出现情况与正弦参考案例。
• 根据模型再现正弦系统中观察到的完整倍周期分岔至混沌的能力来评估其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式近似正弦桌面运动是否能保留标准弹跳小球系统中观察到的复杂分岔结构，包括倍周期分岔？
• RQ2 在二次、三次或分段三次模型中，哪一种最准确地复现了正弦桌面运动的动力学行为？
• RQ3 使用多项式桌面位移是否能在保持与正弦情况动力学保真度的同时，实现碰撞时刻的解析计算？
• RQ4 多项式模型的分岔图与正弦系统的分岔图相比，在稳定性转变和混沌带方面有何异同？

主要发现

• 分段二次模型 $ Y_q(T) $ 产生的分岔图仅包含一次倍周期分岔事件，且无混沌带，与正弦情况显著不同。
• 光滑三次模型 $ Y_{c_1}(T) $ 展现出完整的倍周期分岔至混沌过程，但部分分岔路径突然终止，且稳定性顺序与正弦参考案例不同。
• 四段式三次模型 $ Y_{c_2}(T) $ 产生的分岔图在视觉和结构上与正弦情况极为相似，包括完整的倍周期分岔和混沌带。
• 在 $ Y_{c_2}(T) $ 模型中，下一次碰撞时刻的方程为三次代数方程，因此可解析求解，同时保持了复杂的非线性动力学。
• 在所提出的模型中，$ Y_{c_2}(T) $ 是唯一成功复现正弦系统关键动力学特征的模型，包括通过倍周期分岔引发混沌的起始。