[论文解读] Simultaneous Ruin Probability for Two-Dimensional Brownian and Lévy Risk Models

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2018

Probability and Risk Models参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文针对具有依赖布朗运动的二维布朗运动风险模型中的同时 ruin 概率与 ruin 时间，推导了大初始资本下的渐近近似。利用自相似性与极值理论，当初始资本趋于无穷时，推导出尾部行为的显式公式，特别针对完全相关情形（ρ = 1），从而为线性依赖的谱正 Lévy 过程（如布朗运动与伽马过程）提供可处理的解。

ABSTRACT

The ruin probability in the classical Brownian risk model can be explicitly calculated for both finite and infinite-time horizon. This is not the case for the simultaneous ruin probability in two-dimensional Brownian risk model. Resorting on asymptotic theory, we derive in this contribution approximations of both simultaneous ruin probability and simultaneous ruin time for the two-dimensional Brownian risk model when the initial capital increases to infinity. Given the interest in proportional reinsurance, we consider in some details the case where the correlation is 1. This model is tractable allowing for explicit formulas for the simultaneous ruin probability for linearly dependent spectrally positive Lévy processes. Examples include perturbed Brownian and gamma Lévy processes.

研究动机与目标

• 分析两个投资组合通过布朗运动相关联的二维布朗运动风险模型中的同时 ruin 概率。
• 推导当初始资本 u 趋于无穷时，同时 ruin 概率的渐近近似。
• 将分析扩展至同时 ruin 时间，并提供其尾部行为的近似。
• 研究完全相关情形（ρ = 1）的可处理情况，此时可为线性依赖的谱正 Lévy 过程获得显式公式。
• 通过分析依赖下的联合 ruin，为比例再保险模型提供理论基础。

提出的方法

• 利用布朗运动的自相似性，将时间范围缩减至 [0,1] 并归一化参数。
• 应用极值理论与渐近分析，近似两个依赖布朗运动超过线性边界时的联合尾部概率。
• 采用基于时间改变布朗运动与反射原理的变换，推导边界与近似。
• 使用拉普拉斯变换方法与积分表示，计算 ruin 概率的渐近行为。
• 通过线性依赖将双变量问题简化为单变量问题，为 ρ = 1 情况推导显式公式。
• 应用高斯过程极值结果，包括 Gordon 不等式与首达时理论，以处理依赖过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始资本 u 趋于无穷时，二维布朗运动风险模型中同时 ruin 概率的渐近行为是什么？
• RQ2 两个投资组合之间的相关性 ρ 如何影响联合 ruin 概率，特别是在 ρ = 1 的情形下？
• RQ3 当两个风险过程线性依赖且为谱正时，能否为同时 ruin 概率推导出显式公式？
• RQ4 二维模型中同时 ruin 时间的渐近分布是什么？
• RQ5 在大偏差区域中，保费率 c₁ 与 c₂ 及初始资本水平如何影响联合 ruin 概率？

主要发现

• 当 ρ = 1 时，同时 ruin 概率具有显式公式，通过线性依赖将双变量问题简化为单变量问题。
• 当 a < ρ 时，同时 ruin 概率的渐近近似为 2√(2π(1−ρ²)) exp((c₂−ρc₁)²/(2(1−ρ²)))，该结果源自拉普拉斯变换积分。
• 当 a = ρ 时，渐近近似包含标准正态分布的累积分布函数：2√(2π(1−ρ²)) exp((c₂−ρc₁)²/(2(1−ρ²))) Φ((c₁ρ−c₂)/√(1−ρ²))。
• 同时 ruin 时间 τ_sim(u) 满足 P(u²(1−τ_sim(u)) > x | τ_sim(u) ≤ 1) → 1 当 u → ∞，表明 ruin 几乎必然在时间 1 附近发生。
• 通过自相似性与时间缩放，推导出 ruin 概率的上下界，从而实现紧密的渐近控制。
• 结果被推广至线性依赖的谱正 Lévy 过程，包括布朗运动与伽马过程，在 ρ = 1 假设下成立。