[论文解读] Single and Double Generator Bracket Formulations of Geophysical Fluids with Irreversible Processes

Christopher Eldred, François Gay–Balmaz|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文为地球流体动力学中的单生成元与双生成元括号形式提供了系统性的变分基础，整合了粘性耗散、热传导和相变等不可逆过程。通过从包含热力学位移的热力学一致变分原理推导这些括号结构，该方法确保了第一、第二定律的自动满足，统一了先前的表述形式，并实现了对多组分、多相、完全可压缩流体的度量李括号（GENERIC）系统的构造性推导。

ABSTRACT

The equations of reversible (inviscid, adiabatic) fluid dynamics have a well-known variational formulation based on Hamilton's principle and the Lagrangian, to which is associated a Hamiltonian formulation that involves a Poisson bracket structure. These variational and bracket structures underlie many of the most basic principles that we know about geophysical fluid flows, such as conservation laws. However, real geophysical flows also include irreversible processes, such as viscous dissipation, heat conduction, diffusion and phase changes. Recent work has demonstrated that the variational formulation can be extended to include irreversible processes and non-equilibrium thermodynamics, through the new concept of thermodynamic displacement. By design, and in accordance with fundamental physical principles, the resulting equations automatically satisfy the first and second law of thermodynamics. Irreversible processes can also be incorporated into the bracket structure through the addition of a dissipation bracket. This gives what are known as the single and double generator bracket formulations, which are the natural generalizations of the Hamiltonian formulation to include irreversible dynamics. Here the variational formulation for irreversible processes is shown to underlie these bracket formulations for fully compressible, multicomponent, multiphase geophysical fluids with a single temperature and velocity. Many previous results in the literature are demonstrated to be special cases of this approach. Finally, some limitations of the current approach (especially with regards to precipitation and nonlocal processes such as convection) are discussed, and future directions of research to overcome them are outlined.

研究动机与目标

• 建立地球流体中包含不可逆过程的单生成元与双生成元括号形式的从头推导。
• 通过整合不可逆热力学的统一变分原理，将现有括号表述形式（如 GENERIC、单生成元）统一起来。
• 通过使用热力学位移，确保所得方程自动满足热力学第一、第二定律。
• 将类似哈密顿的括号结构的应用范围扩展至具有多组分、多相、可压缩动力学的复杂真实地球流体。
• 识别并解决当前表述形式的局限性，特别是单温度/单速度假设以及对对流和降水等亚网格尺度过程的处理。

提出的方法

• 采用基于哈密顿原理的变分表述，通过热力学位移将该原理扩展至不可逆过程，确保符合热力学第一、第二定律。
• 对变分系统应用勒让德变换，实现从拉格朗日变量到动量基变量的转换，从而实现哈密顿括号形式的构建。
• 通过将可逆动力学的泊松括号与不可逆过程的耗散括号相结合，系统地推导出单生成元括号。
• 通过指定对称且正定的耗散括号，系统地构建双生成元（度量李/GENERIC）括号，以保持卡西米尔不变量并确保熵的产生。
• 以速度梯度、温度梯度和化学势梯度等热力学力来参数化热力学通量（粘性应力、热流、扩散通量），并考虑线性和非线性形式。
• 通过证明推导出的方程重现单组分和多组分流体的已知运动方程，展示变分系统与现有括号表述形式（如 [5, 29, 55]）的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从包含不可逆过程的变分原理出发，系统地推导出地球流体的单生成元与双生成元括号形式？
• RQ2 热力学位移如何确保所得方程满足热力学第一、第二定律？
• RQ3 在多组分、多相、可压缩流体的背景下，该变分表述与现有括号表述形式（如 GENERIC 和单生成元括号）之间存在何种关系？
• RQ4 在所有流体组分中假设单一温度和速度的假设如何限制当前框架？未来工作如何放宽这些假设？
• RQ5 如何将对流和降水等亚网格尺度过程纳入括号表述中，以超越当前的瞬时耗散模型？

主要发现

• 基于热力学位移的变分表述，为不可逆地球流体的单生成元与双生成元括号形式提供了构造性、从头开始的推导。
• 所推导的括号系统自动满足热力学第一、第二定律，通过通量与力的恰当参数化，确保熵产生非负。
• 该框架重现了已知结果，例如单组分流体的纳维-斯托克斯-傅里叶方程，以及当热力学通量被解释为亚网格湍流参数化时，[29] 中的方程。
• 当通量与力呈线性关系时，双生成元（度量李）括号形式被系统地推导出来，得到类似 GENERIC 的结构，包含卡西米尔不变量与对称耗散。
• 当前方法假设所有组分具有单一温度与速度，且系统为物质封闭，这限制了其对降水和对流等非局域过程的处理能力。
• 未来工作将扩展该表述，以包含多温度与多速度、开放边界、化学反应、辐射以及 SALT 和涡扩散通量等先进亚网格模型，以实现对记忆效应与非局域过程的处理。