[论文解读] Single pass sparsification in the streaming model with edge deletions

Ashish Goel, Michael Kapralov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 23

一句话总结

本文提出了一种单遍流算法，用于在具有边插入和删除的动态图中构建割稀疏化，使用 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 空间和每更新一次 $\tilde{O}(1/\epsilon^2)$ 时间。通过结合基于抽样的连通性估计与稀疏恢复技术，按连通性比例采样边，实现对边的高效重建，即使在存在删除操作的情况下也能在单遍内完成，从而构造出 $\epsilon$-稀疏化，其边数为 $O(n/\log^3 n / \epsilon^2)$。

ABSTRACT

In this paper we give a construction of cut sparsifiers of Benczur and Karger in the {\em dynamic} streaming setting in a single pass over the data stream. Previous constructions either required multiple passes or were unable to handle edge deletions. We use $ ilde{O}(1/\e^2)$ time for each stream update and $ ilde{O}(n/\e^2)$ time to construct a sparsifier. Our $\e$-sparsifiers have $O(n\log^3 n/\e^2)$ edges. The main tools behind our result are an application of sketching techniques of Ahn et al.[SODA'12] to estimate edge connectivity together with a novel application of sampling with limited independence and sparse recovery to produce the edges of the sparsifier.

研究动机与目标

• 设计一种用于动态图中割稀疏化的单遍流算法，其中边可被插入和删除。
• 仅使用 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 空间，实现边数为 $O(n\log^3 n / \epsilon^2)$ 的稀疏化。
• 克服先前方法的局限性，这些方法需要多遍处理或无法处理边的删除。
• 在处理完流之后，以 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 时间高效恢复稀疏化边。
• 通过使用有限独立性的随机变量，减少对完全独立性的依赖。

提出的方法

• 使用几何递减的抽样率序列和来自 Ahn 等人（SODA'12）的抽样技术来估计边的连通性。
• 在多个抽样率下维护抽样边的线性投影，以支持稀疏恢复与重构。
• 使用 $\gamma\log^4 n / \epsilon^2$-重独立的随机变量，以减少空间使用，同时保持集中性界限。
• 在需要时应用稀疏恢复技术，从投影中重构抽样边，从而实现单遍恢复。
• 将连通性估计与边抽样相结合：以与估计连通性成反比的速率抽样边。
• 利用条件期望界限和集中不等式，确保在有限独立性下的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在包含边删除的动态图流上，通过单遍处理构造出割稀疏化？
• RQ2 是否可以将空间复杂度降低至 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$，同时保持 $O(n\log^3 n / \epsilon^2)$ 的稀疏化边数？
• RQ3 是否可能避免多遍处理和完全独立的随机抽样，同时保证正确性？
• RQ4 稀疏恢复技术能否与图投影技术有效结合，以高效重构稀疏化边？
• RQ5 如何在仅使用有限独立性的前提下，通过单遍处理准确估计边的连通性？

主要发现

• 该算法在动态流上单遍处理中构造出边数为 $O(n\log^3 n / \epsilon^2)$ 的 $\epsilon$-割稀疏化。
• 该算法使用 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 空间，每更新一次执行 $\tilde{O}(1/\epsilon^2)$ 的工作量。
• 在处理完流之后，可在 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 时间内恢复稀疏化。
• 该方法通过使用 $\gamma\log^4 n / \epsilon^2$-重独立的随机变量实现正确性，相比完全独立性显著减少了空间使用。
• 分析表明，边抽样被高估或低估的概率可通过集中不等式得到适当控制。
• 该结果优于先前工作，首次在动态模型中实现了单遍稀疏化，此前仅能在多遍处理或无边删除的情况下实现。