[论文解读] Singular Contact Geometry and Beltrami Fields in Cholesteric Liquid Crystals

Joseph Pollard, Gareth P. Alexander|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文引入了奇异接触结构——一种允许孤立奇点的接触几何推广——以模拟胆甾相液晶中的拓扑缺陷。通过在贝特拉米场中定义奇点并引入奇异Lutz扭转，作者证明了所有奇异接触结构在奇异类内同伦等价，非可移除奇点蕴含过度扭转性，并建立了奇异版的Weinstein猜想，该猜想在轨道连接奇点或形成闭合周期轨道时成立。

ABSTRACT

The description of point defects in chiral liquid crystals via topological methods requires the introduction of singular contact structures, a generalisation of regular contact structures where the plane field may have singularities at isolated points. We characterise the class of singularities that may arise in such structures, as well as the subclass of singularities that can occur in a Beltrami field. We discuss questions of global existence, and prove that all singular contact structures with nonremovable singularities are overtwisted. To connect the theory to experiment we also discuss normal and tangential boundary conditions for singular contact structures, and show we can realise all desired boundary conditions except for normal anchoring on a sphere, where a theorem of Eliashberg and Thurston provides an obstruction to having a singular contact structure in the interior. By introducing a singular version of the Lutz twist we show that all contact structures are homotopic within the larger class of singular contact structures. We give applications of our results to the description of topological defects in chiral liquid crystals.

研究动机与目标

• 通过奇异接触结构为手性液晶中的拓扑缺陷建立数学框架。
• 表征贝特拉米场和奇异接触结构中可能出现的奇点类型。
• 解决奇异接触结构的全局存在性与同伦分类问题，特别是与过度扭转性的关系。
• 将理论与胆甾相系统中的物理边界条件（尤其是球面几何）联系起来。
• 提出并研究一个奇异版的Weinstein猜想，考虑Reeb型动力学中的奇点。

提出的方法

• 将奇异接触结构定义为具有孤立点奇点的3-流形上的2-平面场，推广常规接触结构。
• 利用贝特拉米场条件（curl v = λv）通过向量场的对偶1-形式将向量场与接触形式联系起来。
• 引入奇异Lutz扭转——经典Lutz扭转的推广——实现在奇异接触结构空间内的同伦。
• 应用confoliation理论（Eliashberg & Thurston）分析过度扭转性与拓扑障碍。
• 通过在奇点附近使用类似插件的修改构造经典Weinstein猜想的反例，从而导出奇异Weinstein猜想。
• 分析特定场类（ABC场、调和1-形式的扰动）以在具体情形下验证奇异猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在胆甾相液晶中由贝特拉米场产生的奇异接触结构中，可能出现哪些类型的奇点？
• RQ2 所有奇异接触结构是否都能在奇异接触结构类内相互同伦？
• RQ3 在何种条件下奇异接触结构会存在周期轨道或连接奇点的轨道？
• RQ4 在闭流形（特别是球面）上，奇异接触结构会遇到哪些拓扑障碍？
• RQ5 奇异版的Weinstein猜想是否成立，即Reeb型场必须具有周期轨道或趋近于奇点集的轨道？

主要发现

• 所有具有非可移除奇点的奇异接触结构均为过度扭转，推广了正规接触拓扑中的一个结果。
• 奇异Lutz扭转允许在更大的奇异接触结构类中实现任意两个接触结构之间的同伦，且在奇异设定下保持同伦型。
• 奇异版的Weinstein猜想成立：每个奇异接触形式的Reeb型场要么具有闭合周期轨道，要么具有极限于奇点集的轨道。
• 对于ABC场，奇异Weinstein猜想成立，原因在于存在连续形变路径，通过0-指标奇点展开将奇异场与非奇异场连接。
• 闭1-形式或内在调和1-形式的扰动产生奇异接触形式，其Reeb型场在奇点之间具有连接轨道，满足奇异Weinstein猜想。
• 由于Eliashberg与Thurston的一个定理，奇异接触结构在球面上的法向锚定被禁止，表明在球面几何中存在根本性的拓扑约束。