[论文解读] Singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles

Hossein Raufi|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了全纯向量丛上的奇异赫米特度量，定义了此类度量的格里菲斯与中野曲率，并证明了它们可通过具有受控曲率收敛性的光滑度量进行正则化。关键贡献在于建立了正则化过程中曲率电流的弱收敛性，使得即使曲率不是局部可积时，也能在复几何中应用分析技术。

ABSTRACT

We introduce and study a notion of singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles, following Berndtsson and P{ă}un. We define what it means for such a metric to be curved in the sense of Griffiths and investigate the assumptions needed in order to locally define the cuvature $Θ^h$ as a matrix of currents. We then proceed to show that such metrics can be regularised in such a way that the corresponding curvature tensors converge weakly to $Θ^h$. Finally we define what it means for $h$ to be strictly negatively curved in the sense of Nakano and show that it is possible to regularise such metrics with a sequence of smooth, strictly Nakano negative metrics.

研究动机与目标

• 定义并分析全息向量丛上的奇异赫米特度量，特别是从格里菲斯与中野曲率的角度出发。
• 确定奇异度量 $Θ^h$ 的曲率可作为具有测度系数的当前有意义定义的条件。
• 构造光滑度量的正则化序列，使得相应曲率张量弱收敛于原始奇异度量的曲率。
• 将正则化结果扩展到中野意义下的严格负曲率度量，证明其收敛于严格中野负的光滑度量。

提出的方法

• 采用奇异赫米特度量的定义：从基空间到纤维上非负赫米特形式的可测映射，并附加曲率条件。
• 通过全纯截面 $u$ 的 $∥u∥_h^2$ 的拟凸性来定义格里菲斯负性，通过 $(n-1,n-1)$-形式 $T_u^h$ 的拟凸性来定义中野负性。
• 使用与近似恒等式 $\chi_\nu$ 的卷积构造奇异度量的正则化序列 $h_\nu = h * \chi_\nu$。
• 证明对于格里菲斯负的度量，曲率电流 $\Theta^{h_\nu}$ 以具有测度系数的当前意义弱收敛于 $\Theta^h$。
• 证明对于严格中野负的度量，可选择正则化序列 $h\_\nu$ 为严格中野负，并弱收敛于原始曲率。
• 应用涉及 $i\partial\bar{\partial}T_u^{h_\nu}$ 的分布不等式，并通过对偶性和逼近论证将其与曲率联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异赫米特度量 $h$ 的曲率 $\Theta^h$ 可作为具有测度系数的当前来定义？
• RQ2 是否可以对格里菲斯意义下负曲率的奇异赫米特度量进行正则化，使得逼近度量的曲率弱收敛于原始度量的曲率？
• RQ3 能否用同样严格中野负的光滑度量来逼近一个在中野意义下严格负曲率的奇异度量？
• RQ4 行列式 $\det h$ 在向量丛上奇异赫米特度量的正则性与曲率行为中起什么作用？
• RQ5 当度量不是局部可积时，曲率电流在卷积正则化下的行为如何？

主要发现

• 对于格里菲斯负的奇异赫米特度量 $h$，连接矩阵 $\theta^h = h^{-1}\partial h$ 几乎处处有定义，其取值为 $L^2$-值形式。
• 存在格里菲斯负的奇异度量的例子，其曲率 $\Theta^h = \bar{\partial}\theta^h$ 并非具有测度系数的当前，表明曲率不能总以标准方式定义。
• 当 $\det h > \varepsilon > 0$ 时，曲率 $\Theta^h$ 可作为具有测度系数的当前来定义，且正则化序列 $h_\nu$ 满足以当前意义的弱收敛性 $\Theta^{h_\nu} \to \Theta^h$。
• 对于中野意义下的严格负曲率度量，通过卷积的正则化保持了严格中野负性，且曲率张量弱收敛于原始曲率。
• 证明依赖于 $T_u^h$ 的拟凸性以及涉及 $i\partial\bar{\partial}T_u^{h_\nu}$ 的分布不等式，这些不等式被用于在 $\nu$ 上统一控制曲率界。
• 收敛结果在 $\det h = 0$ 的解析集之外成立，并通过逼近和测度论论证扩展至整个定义域。