[论文解读] The Nakano vanishing theorem and a vanishing theorem of Demailly-Nadel type for holomorphic vector bundles

Hossein Raufi|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文通过使用 $\delta\bar{\partial}$-Bochner-Kodaira 方法避免依赖凯勒恒等式，建立了在具有奇异赫米特度量的非紧黎曼曲面上，全纯向量丛的 Demailly-Nadel 型消去定理。通过逼近和弱收敛技术，将 Hörmander 型 $L^2$ 估计推广至奇异度量情形，证明了在 Nakano 正性条件下 $\bar{\partial}$-闭形式的 $L^2$ 估计。

ABSTRACT

We prove the classical Nakano vanishing theorem with Hörmander $L^2$-estimates on a compact Kähler manifold using Siu's so called $\partial\dbar$-Bochner-Kodaira method, thereby avoiding the Kähler identities completely. We then introduce singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles, and proceed to prove a vanishing theorem of Demailly-Nadel type for these in the special case where the base manifold is a Riemann surface.

研究动机与目标

• 通过 $L^2$ 估计将经典的 Nakano 消去定理推广至全 holomorphic 向量丛上奇异赫米特度量的情形。
• 通过采用 Siu 的 $\partial\bar{\partial}$-Bochner-Kodaira 方法，避免依赖凯勒恒等式。
• 在具有奇异度量的非紧黎曼曲面上，建立全纯向量丛的 Demailly-Nadel 型消去定理。
• 在 Nakano 正性条件下，证明 $\bar{\partial}$-闭形式的 $L^2$ 估计，即使在奇异度量情形下亦成立。
• 通过逼近与弱收敛技术，将 Hörmander 型 $L^2$ 估计推广至奇异赫米特度量。

提出的方法

• 将 $\partial\bar{\partial}$-Bochner-Kodaira 方法应用于取值于 $E$ 的 $(n,p)$-型形式，用 $i\partial\bar{\partial}$ 替代 $\Delta$，作用于 $c_q\langle\alpha,\alpha\rangle\omega^{n-q-1}/(n-q-1)!$。
• 在凯勒流形上使用 Hörmander 的 $L^2$ 估计处理 $\bar{\partial}$-方程，其中度量在 Nakano 意义下具有严格正曲率。
• 通过序列 $\{h_\nu\}$ 逼近奇异赫米特度量 $h$，使得 $h_\nu$ 为光滑且严格正曲率度量，并逐点递增收敛于 $h$。
• 利用 $h_\nu$ 的逼近性与单调性，在截断域 $D_j$ 上建立统一的 $L^2$ 有界性，再通过弱收敛得到在全流形上的解。
• 使用对角线法提取子列，使其在 $L^2_{(1,0)}(D,E,h_{\nu_0})$ 中弱收敛，对所有 $\nu_0$ 成立，从而得到解 $u_D$ 且其 $L^2$ 范数受控。
• 利用引理 4.1 将解延拓至紧黎曼曲面上的孤立点，确保 $\bar{\partial}u = f$ 在分布意义下全局成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 $\partial\bar{\partial}$-Bochner-Kodaira 方法在不依赖凯勒恒等式的情形下，证明全纯向量丛上 $\bar{\partial}$-方程的 $L^2$ 估计？
• RQ2 在具有奇异赫米特度量的非紧黎曼曲面上，全纯向量丛是否成立 Demailly-Nadel 型消去定理？
• RQ3 能否通过逼近与弱收敛技术，将 $\bar{\partial}$-闭形式的 $L^2$ 估计推广至奇异度量情形？
• RQ4 $\partial\bar{\partial}$-Bochner-Kodaira 方法在向量丛上与在线丛上的适应性有何不同？
• RQ5 当度量奇异但连续时，$\bar{\partial}$-解在孤立奇点处的行为如何？

主要发现

• 本文通过 $\partial\bar{\partial}$-Bochner-Kodaira 方法在不依赖凯勒恒等式的情形下，证明了在紧凯勒流形上全纯向量丛上 $\bar{\partial}$-方程的 $L^2$ 估计。
• 对任意 $\bar{\partial}$-闭的取值于 $E$ 的 $(n,p)$-型形式 $f$（$p \geq 1$），在 Nakano 正性条件 $i\Theta^h \geq_{\text{Nak.}} \delta \omega \otimes I$ 下，存在解 $u$ 满足 $\int_X \|u\|^2_{\omega,h} dV_\omega \leq \frac{1}{\delta p} \int_X \|f\|^2_{\omega,h} dV_\omega$。
• 在非紧黎曼曲面上，当 $\log h \in L^1_{\text{loc}}$ 时，奇异赫米特度量下 Demailly-Nadel 消去定理成立，且 $L^2$ 估计在逼近下保持不变。
• 在区域 $D$ 上，$\bar{\partial}u = f$ 的解 $u_D$ 满足 $\int_D \|u_D\|^2_{\omega,h} dV_\omega \leq \frac{1}{1-\varepsilon} \int_D \|f\|^2_{\omega,h} dV_\omega$，其中 $\varepsilon > 0$ 足够小。
• 在紧黎曼曲面上，由于局部 $L^2$ 可积性与引理 4.1，$\bar{\partial}u = f$ 的解 $u$ 可跨越孤立点，确保全局可解性。
• 该方法可在截断域 $D_j$ 上实现统一的 $L^2$ 有界性，弱收敛给出全流形上的解 $u$，满足 $\int_X \|u\|^2_{\omega,h} dV_\omega \leq \frac{1}{1-\varepsilon} \int_X \|f\|^2_{\omega,h} dV_\omega$，且当 $\varepsilon \to 0$ 时趋于精确。