[论文解读] Singular Hochschild cohomology and algebraic string operations

Manuel Rivera, Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文引入了Tate-Hochschild复形，作为将Hochschild链与余链结合的双复形的无界总化，利用Frobenius结构连接二者。证明该复形计算奇异Hochschild余上同调，并为其配备$A_\infty$-代数与$L_\infty$-代数结构，表明余上同调构成Batalin-Vilkovisky代数，且BV算子扩展了Connes的边界映射。

ABSTRACT

Given a differential graded (dg) symmetric Frobenius algebra $A$ we construct an unbounded complex $\mathcal{D}^{*}(A,A)$, called the Tate-Hochschild complex, which arises as a totalization of a double complex having Hochschild chains as negative columns and Hochschild cochains as non-negative columns. We prove that the complex $\mathcal{D}^*(A,A)$ computes the singular Hochschild cohomology of $A$. We construct a cyclic (or Calabi-Yau) $A$-infinity algebra structure, which extends the classical Hochschild cup and cap products, and an $L$-infinity algebra structure extending the classical Gerstenhaber bracket, on $\mathcal{D}^*(A,A)$. Moreover, we prove that the cohomology algebra $H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$ is a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra with BV operator extending Connes' boundary operator. Finally, we show that if two Frobenius algebras are quasi-isomorphic as dg algebras then their Tate-Hochschild cohomologies are isomorphic and we use this invariance result to relate the Tate-Hochschild complex to string topology.

研究动机与目标

• 定义一个新的无界复形——Tate-Hochschild复形，用于计算dg对称Frobenius代数的奇异Hochschild余上同调。
• 将经典的Hochschild运算——cup积、cap积与Gerstenhaber括号——提升至链层的高阶代数结构。
• 证明Tate-Hochschild复形的余上同调具有Batalin-Vilkovisky代数结构，且BV算子扩展了Connes的边界算子。
• 建立奇异Hochschild余上同调在dg代数的拟同构下的不变性，从而与弦拓扑建立联系。

提出的方法

• 将Tate-Hochschild复形$\mathcal{D}^{*}(A,A)$构造为双复形的总化，其中Hochschild链位于负度数，余链位于非负度数。
• 利用Frobenius配对定义连接映射$\gamma: \mathcal{D}^{-1,*}(A,A) \to \mathcal{D}^{0,*}(A,A)$，涉及余乘法$\Delta$、乘法$\mu$与辫子$T$，以连接链与余链。
• 将负度数列向右平移$1-k$，以确保总微分的次数为$+1$，从而形成定义良好的无界双复形。
• 将奇异Hochschild余上同调的结合代数结构上移至$\mathcal{D}^{*}(A,A)$上的$A_\infty$-代数结构，扩展cup积与cap积。
• 通过Frobenius结构导出的高阶运算，构造一个扩展Gerstenhaber括号的$L_\infty$-代数结构。
• 证明余上同调$H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$为Batalin-Vilkovisky代数，且BV算子扩展了Connes的边界算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一个统一的无界复形计算奇异Hochschild余上同调，该复形同时包含Hochschild链与余链？
• RQ2 对于dg对称Frobenius代数，经典的Hochschild cup积与cap积能否在链层上扩展为高阶代数结构？
• RQ3 奇异Hochschild复形的余上同调是否具有Batalin-Vilkovisky代数结构？若是，BV算子与Connes的边界算子有何关系？
• RQ4 奇异Hochschild余上同调在dg代数的拟同构下在多大程度上保持不变？这与弦拓扑有何关联？

主要发现

• Tate-Hochschild复形$\mathcal{D}^{*}(A,A)$，作为包含Hochschild链与余链的双复形的总化，计算了dg对称Frobenius代数$A$的奇异Hochschild余上同调。
• $\mathcal{D}^{*}(A,A)$自然携带一个扩展了链层上Hochschild cup积与cap积的$A_\infty$-代数结构。
• 在$\mathcal{D}^{*}(A,A)$上构造了一个扩展经典Gerstenhaber括号的$L_\infty$-代数结构。
• 余上同调代数$H^*(\mathcal{D}^{*}(A,A))$为Batalin-Vilkovisky代数，且BV算子扩展了Connes的边界算子。
• 对于代数$A_n = C^*(S^n)$，奇异Hochschild余上同调同构于$\mathbb{K}[x,x^{-1}] \otimes \Lambda[t]$，其中$|x| = 2(n-1)$，$|t| = 1$，且BV作用为$\widetilde{\Delta}(x^p \otimes t) = (2p+1)x^p \otimes 1$。
• 奇异Hochschild余上同调在dg代数的拟同构下保持不变，从而可通过$H^*(LM)$（对于单连通流形）与弦拓扑建立联系。