[论文解读] Singular limits of Kähler-Ricci flow on Fano $G$-manifolds

Yan Li, Gang Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 5

一句话总结

该论文证明，在无凯勒爱因斯坦度量的法诺 $G$-流形上，若初始度量具有 $K\times K$-对称性，则凯勒-里奇流会形成II型奇点，首次在法诺流形上给出了此类奇点的已知例子。该结果解决了长期存在的猜想，表明II型解确实存在，方法基于对称空间上里奇流的不变几何与收敛性分析。

ABSTRACT

In this paper, we prove that any solution of Kähler-Ricci flow on a Fano compactification $M$ of semisimple complex Lie group, is of type II, if $M$ admits no Kähler-Einstein metrics. As an application, we found two Fano compactifications of $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ and one Fano compactification of $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$, on which the Kähler-Ricci flow will develop singularities of type II. To the authors' knowledge, these are the first examples of Ricci flow with singularities of type II on Fano manifolds in the literature.

研究动机与目标

• 解决一个长期存在的俗信：法诺流形上的凯勒-里奇流不可能形成II型奇点。
• 构造法诺流形的显式例子，使得凯勒-里奇流表现出II型行为。
• 建立无凯勒-爱因斯坦度量的条件下，在 $K\times K$-对称初始数据下，II型奇点形成的结果。
• 通过证明极限空间即使在对称约束下也可能不是光滑孤立子，从而扩展哈密顿-天猜想的正则性分析。

提出的方法

• 分析具有 $K\times K$-对称初始度量的法诺 $G$-流形上的归一化凯勒-里奇流，其中 $G$ 为复半单李群，$K$ 为其极大紧子群。
• 利用抛物型 $C^0$-估计与格罗莫夫-豪斯多夫收敛性研究流下的极限空间 $M_\infty$。
• 通过关联多面体 $P \subset \mathfrak{a}^*$ 对 $G$-紧化进行等变分类，以刻画极限度量 $\omega_\infty$。
• 证明势函数 $\psi^\infty$ 的梯度像等于 $2P$，从而证明极限微分同构于原流形。
• 运用体积收敛定理（Colding）与非坍缩性（Perelman）排除边界附近质量集中，确保像的非紧性意味着奇点存在。
• 利用 $K\times K$-对称函数的唯一性与外尔对称性，将极限势函数延拓为 $\mathfrak{a}$ 上的全局凸函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 法诺流形上的凯勒-里奇流是否可能形成II型奇点，从而与‘仅存在I型解’的俗信相矛盾？
• RQ2 何种条件下，法诺 $G$-流形上具有 $K\times K$-对称初始度量的凯勒-里奇流为II型？
• RQ3 此类流形上凯勒-里奇流的极限空间是否为光滑凯勒-里奇孤立子，抑或可能不光滑？
• RQ4 $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ 与 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ 的法诺紧化是否允许II型凯勒-里奇流解？
• RQ5 哈密顿-天猜想中的极限空间 $M_\infty$ 是否可能不是光滑凯勒-里奇孤立子，即使在对称性约束下？

主要发现

• 在无凯勒-爱因斯坦度量的任意法诺 $G$-流形上，若初始度量具有 $K\times K$-对称性，则凯勒-里奇流为II型。
• 构造了两个 $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ 的法诺紧化与一个 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ 的法诺紧化，其凯勒-里奇流形成II型奇点。
• 流的极限空间 $M_\infty$ 通过关联多面体的识别，与原流形 $M$ 微分同构，即使存在奇点。
• 极限势函数 $\psi^\infty$ 的梯度像恰好为 $2P$，与初始多面体相同，证明极限不退化。
• 在这些例子中，哈密顿-天猜想的奇点集 $S$ 非空，意味着 $M_\infty$ 不是光滑凯勒-里奇孤立子。
• 该结果可推广至所有复李群 $G$（不仅半单），表明无凯勒-里奇孤立子的存在意味着II型流。