[论文解读] Singularities of Cox Rings of Fano Varieties

Morgan V. Brown|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文证明了复数域上光滑完备Fano簇的Cox环是Gorenstein且具有典范奇点，且更一般地，任何ℚ-因子化对数Fano对的Cox环具有对数终端奇点。证明方法基于Picard秩的归纳法，通过投影化线丛构造中间Mori Dream空间，并应用极小模型程序来紧化ℤ/mℤ-丛，其中奇点在codimension two的平展覆盖和循环覆盖下保持不变。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete Fano variety over $\mathbb{C}$. We show that the Cox ring $\bigoplus_{L\in ext{Pic}(X)}H^0(X,\mathcal{O}_X(L))$ is Gorenstein with canonical singularities.

研究动机与目标

• 建立光滑Fano簇及其更一般对数Fano对的Cox环奇点性质。
• 解决关于有限生成Cox环为Cohen-Macaulay的猜想，通过反例证明其在一般情况下不成立。
• 将Cox环奇点结果推广至对数Fano和对数Calabi-Yau情形。
• 提供一种系统性的归纳方法，结合GIT商与双有理几何，以分析Cox环奇点。
• 统一del Pezzo曲面、射影空间的爆破以及高维Fano簇的Cox环结果。

提出的方法

• 基于簇X的Picard秩ρ进行归纳，从ρ = 1开始，此时结果由Tomari与Watanabe对分次环的工作得出。
• 通过适当线丛L的投影丛ℙ(𝒪_X ⊕ 𝒪_X(L))，构造X上ℤ/mℤ-丛的小紧化X′。
• 应用极小模型程序（MMP）将X′变形为ℚ-因子化对数Fano对，具有klt奇点。
• 依赖于Mori Dream空间的Cox环是更简单Cox环的有限阿贝尔覆盖，且在codimension two处具有平展性质。
• 利用Reid的循环覆盖技巧，通过群作用与不变量，将X的Cox环与X′的Cox环联系起来。
• 应用Hu与Keel关于GIT商与Cox环的结果，将X作为Spec(Cox(X))对(Gm)^ρ的商空间恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑Fano簇的Cox环具有何种奇点？
• RQ2 ℚ-因子化对数Fano对的Cox环是否具有对数终端奇点？
• RQ3 Cox环的奇点在循环覆盖与GIT商下是否保持不变？
• RQ4 Picard秩如何影响Cox环的奇点性质？
• RQ5 Mori Dream空间上对数Calabi-Yau对的Cox环是否也具有对数典范奇点？

主要发现

• 复数域上光滑完备Fano簇的Cox环是Gorenstein且具有典范奇点。
• 任何ℚ-因子化对数Fano对的Cox环具有对数终端奇点，且为正规和Cohen-Macaulay。
• 对于ρ = 1的簇，Cox环为正规，并继承自分次环已知结果中的对数终端奇点。
• 将X′构造为ℤ/mℤ-丛的小紧化，确保X′为ℚ-因子化且具有klt奇点的对数Fano簇。
• X的Cox环是X′的Cox环的有限、在codimension two处平展的扩张，保持了对数终端奇点。
• 对数Calabi-Yau情形类似处理，表明在相同假设下Cox环具有对数典范奇点。