[论文解读] Singularity formation to the 2D Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction

Xin Zhong|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文为零热传导条件下二维全压缩型纳维-斯托克斯方程柯西问题的强解建立了爆破准则，证明了当初始密度和压力在 $L^∞$ 范数下有界时，解全局存在。分析依赖于对拉梅系统采用对数估计以及加权范数来控制奇异性，即使初始密度具有紧支集或包含真空区域亦成立。

ABSTRACT

The formation of singularity and breakdown of strong solutions to the two-dimensional (2D) Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction are considered. It is shown that for the initial density allowing vacuum, the strong solution exists globally if the density $ρ$ and the pressure $P$ satisfy $\|ρ\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}+\|P\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}

研究动机与目标

• 研究零热传导条件下二维全压缩型纳维-斯托克斯方程柯西问题强解的奇点形成与爆破准则。
• 确定强解在存在真空或初始密度具有紧支集时仍保持全局正则性的条件。
• 将现有爆破准则扩展至二维全压缩系统，尤其在零热传导条件下。
• 建立一致的先验估计，以防止在密度和压力的 $L^∞$ 范数保持有界时发生有限时间爆破。

提出的方法

• 通过涉及 $\bar{x}^a$ 的加权范数推导先验估计，以控制真空或空间无穷远处密度和压力的行为。
• 对拉梅系统应用对数型估计，以控制速度梯度的正则性。
• 通过能量法与插值，对速度梯度及其高阶导数使用 $L^q$ 和 $L^2$ 估计。
• 在假设 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} < \infty$ 的条件下，利用 Gronwall 不等式闭合先验估计。
• 建立 $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^q}$ 的一致有界性，以确保正则性并防止爆破。
• 采用反证法：假设在 $T^*$ 处发生爆破，一致有界性允许解在 $T^*$ 之后继续延拓，与解的最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，零热传导下二维全压缩型纳维-斯托克斯方程的强解保持全局正则？
• RQ2 当初始密度具有紧支集或包含真空区域时，是否仍能保证全局存在性？
• RQ3 对拉梅系统的对数估计与加权范数如何有助于控制奇异性形成？
• RQ4 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ 的有界性在防止爆破中起什么作用？
• RQ5 在所述有界性条件下，是否可能将局部强解延拓至潜在爆破时间 $T^*$ 之后？

主要发现

• 若 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} < \infty$，则零热传导下二维全压缩型纳维-斯托克斯方程柯西问题的强解在时间上全局存在。
• 初始密度可具有紧支集或包含真空，相较于非真空假设，这一条件显著放宽。
• 通过加权 $L^r$ 估计与 Gronwall 不等式，建立了 $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^q}$ 的一致先验估计。
• 对拉梅系统的对数估计在控制速度梯度增长并防止爆破方面起着关键作用。
• $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ 的有界性意味着解可被延拓至任意有限时间 $T^*$ 之后，与有限时间爆破的假设矛盾。
• 证明依赖于反证法：若爆破发生，则一致有界性将允许解的延拓，因此在所述条件下爆破不可能发生。