[论文解读] SINR in wireless networks and the two-parameter Poisson-Dirichlet process

Holger Paul Keeler, Bartłomiej Błaszczyszyn|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2014

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文建立了泊松基蜂窝网络中信噪比干扰加噪声比（SINR）过程与两参数泊松-狄利克雷（PD）过程之间的直接数学等价关系。通过证明有序SINR值服从PD(2/β, 0)分布，作者使源自随机过程的成熟分析工具得以应用，从而推导出SINR顺序统计量的阶乘矩密度和联合概率密度的闭式表达式，显著推进了无线网络中可 tractable 的性能分析。

ABSTRACT

Stochastic geometry models of wireless networks based on Poisson point processes are increasingly being developed with a focus on studying various signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR) values. We show that the SINR values experienced by a typical user with respect to different base stations of a Poissonian cellular network are related to a specific instance of the so-called two-parameter Poisson-Dirichlet process. This process has many interesting properties as well as applications in various fields. We give examples of several results proved for this process that are of immediate or potential interest in the development of analytic tools for cellular networks. Some of them simplify or are akin to certain results that are recently being developed in wireless networks literature. By doing this we hope to motivate further research and use of Poisson-Dirichlet processes in this new setting.

研究动机与目标

• 建立泊松分布蜂窝网络中SINR过程与两参数泊松-狄利克雷（PD）过程之间的正式联系。
• 利用PD过程已有的分析结果，推导出SINR相关度量（如阶乘矩密度和联合顺序统计量密度）的新且可处理的表达式。
• 推动PD过程理论在无线网络建模中的应用，特别是覆盖概率与干扰分析方面。
• 提供一个统一框架，使随机过程结果可直接应用于改进蜂窝网络设计中的分析工具。

提出的方法

• 将基站位置建模为ℝ²上密度为λ的齐次泊松点过程Φ。
• 定义传播过程Θ = {ℓ(|X|)/S_X : X ∈ Φ}，其中ℓ(|x|) = (K|x|)^β，S_X表示衰落/阴影效应，表明其为强度测度Λ_Θ([0,t)) = a t^(2/β)的非齐次泊松过程。
• 引入信号对总干扰比（STIR）过程W/I，其分布等价于参数为α = 2/β且θ = 0的PD(α,θ)过程。
• 利用Handa [10] 推导的PD(α,θ)过程的阶乘矩密度，以闭式表达STINR过程的第n阶阶乘矩密度。
• 通过Dickman函数ρ_α,θ(s)推导STIR过程顺序统计量的联合概率密度，该函数捕捉了PD过程中最大值的分布。
• 证明极限L = lim_{i→∞} i (Z'_(i))^(2/β) 几乎必然存在，并且在所有p ≥ 1的p阶矩下收敛，从而支持对极端SINR值的收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 泊松基蜂窝网络中的SINR过程能否与具有丰富理论性质的已知随机过程建立正式联系？
• RQ2 这一联系对推导覆盖概率和干扰统计等关键网络性能度量的闭式表达式有何影响？
• RQ3 两参数泊松-狄利克雷过程的结果如何被调整以提升无线网络建模中的分析可处理性？
• RQ4 在该类网络中，有序SINR值（特别是最强和最弱链路）的确切分布是什么？

主要发现

• 在典型用户处，泊松蜂窝网络的STIR过程（W/I）服从参数为α = 2/β且θ = 0的两参数泊松-狄利克雷过程。
• STINR过程的第n阶阶乘矩密度为μ^(n)(t₁′,…,tₙ′) = c_{n,2/β,0} ⋅ I_{n,β}(Wa^{-β/2}) ⋅ (∏_{i=1}^n t_i'-(2/β+1)) ⋅ (1 - ∑_{j=1}^n t_j')^{2n/β - 1}，其中(t₁′,…,tₙ′) ∈ Δₙ。
• STIR过程（W=0）顺序统计量的联合密度为f_{m,β}(t₁′,…,tₘ′) = c_{m,2/β,0} ⋅ (∏_{i=1}^m t_i'-(2/β+1)) ⋅ (1 - ∑_{j=1}^m t_j')^{2m/β - 1} ⋅ ρ_{2/β,2m/β}((1 - ∑ t_j')/t_m') ⋅ 1_{Δ_m}(t₁′,…,tₘ′) ⋅ 1_{t₁′>…>tₘ′}。
• 极限L = lim_{i→∞} i (Z'_(i))^(2/β) 几乎必然存在，并且在所有p ≥ 1的p阶矩下收敛，确保SINR值尾部行为的收敛性。
• Dickman函数ρ_{α,θ}(s)用于表达最大STIR值的生存函数，其中θ = 2m/β反映了其对有序干扰源数量的依赖性。
• 本结果通过PD过程框架，为阶乘矩密度提供了闭式表达式，扩展了Błaszczyszyn和Keeler [6] 的先前工作，否则该表达式直接从矩测度推导将极为复杂。