[论文解读] Six-dimensional nearly Kaehler manifolds of cohomogeneity one (II)

Andrea Spiro, Fabio Podestà|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文在 $G/K \times \mathbb{R}$ 上构造了一个 2-参数族的非等距、$G$-不变严格近乎凯勒（NK）结构，其中 $G = \mathrm{SU}_2 \times \mathrm{SU}_2$，并在 $TS^3$ 上构造了一个 1-参数族的此类结构，该结构可光滑延拓至奇异的 $S^3$ 轨道。关键结果是在 $TS^3$ 上发现了一类新的非局部齐次 NK 结构，其等距模空间被确定为 $\mathbb{R}$，且其中两个结构为局部齐次，并分别与 $S^6$ 和 $S^3 \times S^3$ 上的结构 $G$-等价。该构造依赖于沿法测地线求解 $G$-不变形式的微分系统，其形式幂级数解由 Malgrange 定理保证存在。

ABSTRACT

Let M be a six dimensional manifold, endowed with a cohomogeneity one action of G= SU_2 x SU_2, and M_reg its subset of regular points. We show that M_reg admits a smooth, 2-parameter family of G-invariant, non-isometric strict nearly Kaehler structures and that a 1-parameter subfamily of such structures smoothly extend over a singular orbit of type S^3. This determines a new class of examples of nearly Kaehler structures on TS^3

研究动机与目标

• 对 $G = \mathrm{SU}_2 \times \mathrm{SU}_2$ 作用下六维流形上具有余维一的 $G$-不变严格近乎凯勒结构进行分类。
• 确定此类结构在 $TS^3$ 上是否可光滑延拓至奇异的 $S^3$ 轨道。
• 确定 $TS^3$ 上 $G$-不变严格 NK 结构的等距模空间。
• 研究在已知的 $S^6$ 和 $S^3 \times S^3$ 上的齐次情形之间是否存在非局部齐次 NK 结构的插值。

提出的方法

• 通过沿法测地线的光滑映射 $f = (f_1, \dots, f_5)$ 参数化 $G$-不变近乎凯勒结构，以特殊基中的 $G$-不变 2-形式编码凯勒形式。
• 将问题约化为求解由近乎凯勒条件及 $d\omega$ 稳定性导出的 $f_i$ 的常微分方程组。
• 利用递推关系构造微分系统的形式幂级数解，并应用 Malgrange 定理保证光滑解的存在性。
• 通过对称性构造系统的形式光滑解 $\mathcal{P}(t)$，并利用泰勒展开中无奇次项确保在 $t=0$ 处的光滑性。
• 通过分析 $||\widehat{A}||$ 的解析性及函数 $h_2, h_3, h_4$ 的解析性，验证所得结构为爱因斯坦且实解析。
• 通过证明两个结构等距当且仅当其初始数据 $b_1 = c_1 > 0$ 相同，从而证明等距唯一性，利用 $G$-等变性与轨道保持性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $G/K \times \mathbb{R}$ 上构造一个 2-参数族的非等距、$G$-不变严格近乎凯勒结构，其中 $G = \mathrm{SU}_2 \times \mathrm{SU}_2$？
• RQ2 这些结构是否可光滑延拓至奇异的 $S^3$ 轨道，从而在 $TS^3$ 上产生新的近乎凯勒结构？
• RQ3 在 $TS^3$ 上，$G$-不变严格近乎凯勒结构的等距模空间是什么？
• RQ4 是否存在非局部齐次的近乎凯勒结构在 $TS^3$ 上插值于已知的 $S^6$ 和 $S^3 \times S^3$ 上的齐次情形之间？
• RQ5 哪些初始数据 $b_1$ 对应于局部齐次结构，它们与已知的齐次 NK 流形有何关系？

主要发现

• 在 $G/K \times \mathbb{R}$ 上存在一个 2-参数族的非等距、非局部齐次 $G$-不变严格近乎凯勒结构，其中 $K = T^1_{\text{diag}}$。
• 在 $TS^3$ 上存在一个 1-参数族的非等距、$G$-不变严格近乎凯勒结构，其光滑参数化区间为 $]0, +\infty[$。
• 此类结构在 $TS^3$ 上的等距模空间被确定为 $\mathbb{R}$，每个结构由初始参数 $b_1 = c_1 > 0$ 唯一确定。
• 该 1-参数族中的两个结构为局部齐次，并分别与 $S^6$ 和 $S^3 \times S^3$ 上的典型近乎凯勒结构 $G$-等价。
• 在适当的重标度与重参数化后，这两个局部齐次结构分别对应于 $b_1 = \frac{1}{9}$（$S^3 \times S^3$）和 $b_1 = \frac{1}{4}$（$S^6$）。
• 任意两个 $TS^3$ 上的 $G$-不变近乎凯勒结构等距当且仅当其初始数据 $b_1$ 相同，从而证明模空间为 $\mathbb{R}$。