[论文解读] Sketching, Streaming, and Fine-Grained Complexity of (Weighted) LCS

Karl Bringmann, Bhaskar Ray Chaudhury|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对固定大小字母表上字符串的最长公共子序列（LCS）问题的确定性概要构造与流式算法，实现了 $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ 位的最优空间复杂度。在强指数时间假设（SETH）下证明了紧致下界，表明该算法在加权LCS变体上的运行时间为 $\mathcal{O}(\min\{nm, n + m^{|Σ|}\})$，在低阶项因子范围内已达到最优。

ABSTRACT

We study sketching and streaming algorithms for the Longest Common Subsequence problem (LCS) on strings of small alphabet size $|Σ|$. For the problem of deciding whether the LCS of strings $x,y$ has length at least $L$, we obtain a sketch size and streaming space usage of $\mathcal{O}(L^{|Σ| - 1} \log L)$. We also prove matching unconditional lower bounds. As an application, we study a variant of LCS where each alphabet symbol is equipped with a weight that is given as input, and the task is to compute a common subsequence of maximum total weight. Using our sketching algorithm, we obtain an $\mathcal{O}( extrm{min}\{nm, n + m^{\lvert Σ vert}\})$-time algorithm for this problem, on strings $x,y$ of length $n,m$, with $n \ge m$. We prove optimality of this running time up to lower order factors, assuming the Strong Exponential Time Hypothesis.

研究动机与目标

• 设计针对固定大小字母表 $\Sigma$ 上字符串的LCS高效概要与流式算法，此前的工作假设字母表较大。
• 填补在小字母表下，空间与时间约束下LCS复杂度理解的空白，此前强下界仅适用于大字母表。
• 设计一种概要方案，能够捕获所有长度不超过 $L$ 的公共子序列，从而实现高效决策与流式计算。
• 在强指数时间假设（SETH）下，证明所提算法在加权LCS问题上的时间与空间复杂度达到最优。
• 通过在SETH下从正交向量问题（OV）规约，建立加权LCS问题的紧致下界。

提出的方法

• 构造字符串 $x$ 的子序列 $C_L(x)$，以保留所有长度 $\leq L$ 的公共子序列，使用 $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1})$ 个长度不超过 $L$ 的连续段。
• 使用单遍流式算法在 $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ 空间内计算 $C_L(x)$，每个字符处理时间为 $\mathcal{O}(1)$。
• 使用 $\mathcal{O}(\log L)$ 位编码每个连续段，总概要大小为 $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ 位。
• 通过构造字符串 $x$ 和 $y$，将正交向量（OV）问题规约为加权LCS问题，使得 $\text{WLCS}(x,y) \geq \tau$ 当且仅当存在一对正交向量。
• 使用参数 $\alpha$ 控制长度比 $n/m$，构造满足 $n = m^{\alpha \pm o(1)}$ 的字符串，以获得紧致的难解性界。
• 证明在SETH下，求解加权LCS问题需要时间 $(nm)^{1-o(1)}$，与算法的运行时间仅在低阶项因子范围内存在差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种针对固定大小字母表上LCS的概要或流式算法，实现在子线性空间内的性能？
• RQ2 在小字母表假设下，$\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ 的概要大小是否对LCS决策问题最优？
• RQ3 我们能否在小字母表上实现 $\mathcal{O}(\min\{nm, n + m^{|Σ|}\})$ 时间复杂度的最优加权LCS算法？
• RQ4 强指数时间假设（SETH）是否意味着在小字母表上加权LCS不存在更快的算法？
• RQ5 我们能否以保持SETH下时间复杂度的方式，将正交向量问题规约为加权LCS？

主要发现

• 所提出的概要算法实现了 $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ 位的概要大小，该大小在常数因子范围内达到最优。
• 流式算法使用 $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ 空间，每个字符处理时间为 $\mathcal{O}(1)$，总解码时间为 $\mathcal{O}(L^{2|Σ|})$。
• 对于长度为 $n, m$ 且满足 $n \geq m$ 的字符串，获得了 $\mathcal{O}(\min\{nm, n + m^{|Σ|}\})$ 时间复杂度的加权LCS问题算法。
• 该算法的运行时间在强指数时间假设（SETH）下达到最优，仅在低阶项因子范围内存在差异。
• 本文证明，在SETH下求解加权LCS需要时间 $(nm)^{1-o(1)}$，为所有 $\alpha < \sigma$ 建立了紧致的难解性。
• 字符串 $x$ 和 $y$ 的构造确保 $n = m^{\alpha \pm o(1)}$ 且 $|\Sigma| = \sigma$，从而实现了从OV到加权LCS的紧致规约。