[论文解读] Why walking the dog takes time: Frechet distance has no strongly subquadratic algorithms unless SETH fails

Karl Bringmann|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 30被引用 30

一句话总结

本文证明，在强指数时间假设（SETH）不成立的前提下，计算两条多边形曲线之间的弗雷chet距离无法在强亚二次时间复杂度内完成，即对于任意 δ > 0，无法在 O(n²⁻δ) 时间内完成，除非 SETH 失效。该结果同时适用于连续弗雷chet距离与离散弗雷chet距离，基于 SETH 建立了紧致的条件下界，表明现有的 O(n²) 算法在对数因子范围内可能已达到最优。

ABSTRACT

The Frechet distance is a well-studied and very popular measure of similarity of two curves. Many variants and extensions have been studied since Alt and Godau introduced this measure to computational geometry in 1991. Their original algorithm to compute the Frechet distance of two polygonal curves with n vertices has a runtime of O(n^2 log n). More than 20 years later, the state of the art algorithms for most variants still take time more than O(n^2 / log n), but no matching lower bounds are known, not even under reasonable complexity theoretic assumptions. To obtain a conditional lower bound, in this paper we assume the Strong Exponential Time Hypothesis or, more precisely, that there is no O*((2-delta)^N) algorithm for CNF-SAT for any delta > 0. Under this assumption we show that the Frechet distance cannot be computed in strongly subquadratic time, i.e., in time O(n^{2-delta}) for any delta > 0. This means that finding faster algorithms for the Frechet distance is as hard as finding faster CNF-SAT algorithms, and the existence of a strongly subquadratic algorithm can be considered unlikely. Our result holds for both the continuous and the discrete Frechet distance. We extend the main result in various directions. Based on the same assumption we (1) show non-existence of a strongly subquadratic 1.001-approximation, (2) present tight lower bounds in case the numbers of vertices of the two curves are imbalanced, and (3) examine realistic input assumptions (c-packed curves).

研究动机与目标

• 在强指数时间假设（SETH）下，为弗雷chet距离计算建立条件下的复杂度下界。
• 弥合目前最佳算法（O(n²)）与尚未发现任何亚二次算法之间的差距。
• 将下界扩展至近似算法，并考虑 c-packed 曲线等现实输入模型。
• 探讨在广泛接受的复杂度假设下，是否存在更快的弗雷chet距离算法。

提出的方法

• 假设 CNF-SAT 不存在 O*((2−δ)^N) 时间算法（对任意 δ > 0），将 CNF-SAT 问题归约至弗雷chet距离问题。
• 构造具有特定几何与组合性质的两条多边形曲线，以模拟 CNF-SAT 实例。
• 通过精心设计的参数化方法，引入 ε、N、M 及曲线复杂度，确保归约的正确性与紧致性。
• 分析所构造曲线之间的弗雷chet距离，证明其值较小当且仅当 CNF 公式可满足。
• 通过引入 1.001-近似变体，将归约扩展至近似算法。
• 对 c-packed 曲线调整构造方法，以分析具有有界曲线复杂度的现实输入场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SETH 假设下，是否存在一种强亚二次时间算法来计算两条多边形曲线之间的弗雷chet距离？
• RQ2 是否可以在强亚二次时间内计算弗雷chet距离的 1.001-近似解？
• RQ3 当两条曲线的顶点数量严重失衡时，弗雷chet距离的条件复杂度下界是什么？
• RQ4 是否存在一种 (1+ε)-近似算法，对 c-packed 曲线运行时间在 Õ(cn) 范围内？
• RQ5 该下界能否推广至高维曲线或其他弗雷chet距离变体？

主要发现

• 除非强指数时间假设（SETH）失效，否则弗雷chet距离无法在 O(n²⁻δ) 时间内计算（对任意 δ > 0）。
• 在 SETH 假设下，连续与离散弗雷chet距离的条件复杂度下界均为 Ω(n²)。
• 除非 SETH 失效，否则不存在强亚二次时间的 1.001-近似算法用于弗雷chet距离。
• 对于顶点数量严重失衡的曲线，下界取决于较小曲线的大小，且在 SETH 假设下，不存在快于 O(n²⁻δ) 的算法。
• 对于 c-packed 曲线，下界表明即使 (1+ε)-近似算法运行时间在 Õ(cn) 范围内，也极不可能存在，除非 SETH 失效。
• 结果在紧致意义上是紧的，因为它们与目前已知的最佳算法在多对数因子范围内一致，表明在 SETH 假设下，当前算法已达到最优。