[论文解读] sl(N)-Web categories

Marco Mackaay, Y. Yonezawa|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 17

一句话总结

本文通过彩色 $σρ_N$-矩阵因子化构造了量子斜 Howe 对偶的范畴化，建立了在网页范畴上的分层量子 $σρ_m$ 的 2-表示。关键结果是该网页范畴的 Karoubi 包络与分层-$N$ 轮换 KLR 代数上的有限维分次投射模范畴等价，范畴化地实现了网页空间作为 Grothendieck 群。

ABSTRACT

In this paper we use colored sl(N)-matrix factorizations, due to Wu and Y.Y., in order to categorify part of the quantum skew Howe duality defined by Cautis, Kamnitzer and Morrison. In particular, we define web categories and 2-representations of Khovanov and Lauda's categorical quantum sl(m) on them. We show that each such web category is equivalent to the category of finite dimensional graded projective modules over a certain level N cyclotomic Khovanov-Lauda-Rouquier algebra.

研究动机与目标

• 通过矩阵因子化范畴化 $σρ_m$ 与 $σρ_N$ 之间的量子斜 Howe 对偶。
• 在分次网页范畴上定义分层量子 $σρ_m$ 的 2-表示。
• 建立网页范畴的 Karoubi 包络与分层-$N$ 轮换 KLR 代数上的有限维分次投射模范畴之间的等价性。
• 将 Khovanov 的弧代数（$N=2$）和 Pan-Tubbenhauer-Mackaay 的网页代数（$N=3$）推广至任意 $N$。

提出的方法

• 构造一个 2-函子 $Γ_{m,d,N}$，从 Khovanov-Lauda 的分层量子 $σρ_m$ 到彩色 $σρ_N$-矩阵因子化 2-范畴。
• 将分次网页范畴 $ω_{Λ}^{∘}$ 定义为权重 $Λ = N\ell \omega_\ell$ 索引的网页空间的直和，其中 $d = N\ell$。
• 利用与 $σρ_N$-网页相关的矩阵因子化来定义 2-范畴 $ω_{m,d,N}$ 中的 1-态射与 2-态射。
• 通过梯子拼接与矩阵因子化张量积定义分层 $σρ_m$ 在网页范畴上的作用。
• 通过 Rouquier 的普遍性命题证明所得 2-表示是强且普遍的。
• 通过非退化的 $q$-半线性形式建立 $ω_{Λ}^{∘}$ 的分裂 Grothendieck 群与原始网页空间 $W_{Λ}$ 之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 彩色 $σρ_N$-矩阵因子化能否用于范畴化 Cautis-Kamnitzer-Morrison 的量子斜 Howe 对偶？
• RQ2 分层量子 $σρ_m$ 在网页范畴 $ω_{Λ}^{∘}$ 上的 2-表示是否可扩展为强 2-表示？
• RQ3 $ω_{Λ}^{∘}$ 的 Karoubi 包络是否与分层-$N$ 轮换 KLR 代数 $R_{Λ}$ 上的有限维分次投射模范畴等价？
• RQ4 网页范畴如何与 $N=2$ 时的 Springer 簇几何及弧代数相关？
• RQ5 该框架能否扩展以定义 $N \geq 4$ 时 $σρ_N$-泡沫的完整关系集？

主要发现

• 2-函子 $Γ_{m,d,N}$ 提供了量子斜 Howe 对偶的范畴化，将分层 $σρ_m$ 映射到 $σρ_N$-矩阵因子化 2-范畴。
• 网页范畴 $ω_{Λ}^{∘}$ 通过矩阵因子化拼接，携带了分层量子 $σρ_m$ 的良好定义的强 2-表示。
• $ω_{Λ}^{∘}$ 的 Karoubi 包络与分层-$N$ 轮换 KLR 代数 $R_{Λ}$ 上的有限维分次投射模范畴等价。
• 分裂 Grothendieck 群 $K_0^q(\dot{\mathcal{W}}_{Λ}^{∘})$ 同构于原始网页空间 $W_{Λ}$，同构由 $q$-维数映射给出。
• 网页范畴可分解为块，每个块与一个 $σρ_N$-网页代数上的有限维分次投射模范畴等价。
• 当 $N=2$ 时，网页代数即为 Khovanov 的弧代数；当 $N=3$ 时，它推广了 Pan-Tubbenhauer-Mackaay 的构造，且该框架可推广至任意 $N$。