[论文解读] Slices of motivic Landweber spectra

Markus Spitzweck|ArXiv.org|May 21, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文在 Voevodsky 对 motivic Thom 分裂谱 MGL 的猜想下，建立了 motivic Landweber 分裂谱的分片的一般性结果。通过两步法——首先证明形如 MGL ∧ E 的谱（E 为 Landweber 本质）的分片结果，然后利用余单纯化解析——表明此类谱的分片由 motivic Eilenberg-MacLane 分裂谱 H 和 MU 的同伦群决定，从而确认了 motivic 版本的 Conner-Floyd 同构，并将上同调 Landweber 本质性推广至所有紧致谱。

ABSTRACT

We show that the Conjecture of Voevodsky concerning slices of the algebraic cobordism spectrum MGL implies a general statement about the slices of motivic Landweber spectra. In particular it confirms the possible approach suggested by Voevodsky for the computation of the slices of the homotopy algebraic K-theory spectrum KGL via a Conner-Floyd isomorphism complementing Levine's unconditional proof of these slices over perfect fields. A similar result, and Voevodsky's conjecture over fields of char. 0, are also announced by Hopkins-Morel.

研究动机与目标

• 在 Voevodsky 对 MGL 的猜想下，证明 motivic Landweber 分裂谱分片的一般性陈述。
• 验证文献 [13] 中建议的利用 Conner-Floyd 同构计算 KGL 分片的策略。
• 将上同调 Landweber 本质性从强对偶化谱推广至 motivic 稳定范畴中的所有紧致谱。
• 在猜想下建立 MGL 的零阶分片为 motivic Eilenberg-MacLane 分裂谱 H。
• 通过余单纯化解析，证明分片过滤与 motivic Landweber 本质性条件良好兼容。

提出的方法

• 利用 MU-同伦群的投影维数的拓扑结果，证明形如 MGL ∧ E 的谱（E 为 Landweber 谱）的分片分解，其中 E 为 Landweber 谱。
• 利用分片过滤的松弛张量函子结构，将 s*(E) ∧ s*(F) 与 s*(E ∧ F) 关联起来，保持环与模结构。
• 构造一般 Landweber 谱的余单纯化解析，以形如 MGL ∧ E 的谱表示，从而将问题约化至第一种情形。
• 应用 motivic K-理论的 Conner-Floyd 同构，将 MGL**X ⊗ MU* Z[u,u⁻¹] 与 KGL**X 关联，支持分片结构的猜想。
• 利用 H-模的导出范畴分析幻影映射，并确立 Landweber 谱在幻影等价下的唯一性。
• 证明在紧致对象上，自然映射 α_M*,X: MGL**X ⊗_MU* M* → E**X 是同构，从而确认上同调 Landweber 本质性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voevodsky 对 MGL 分片的猜想是否意味着 motivic Landweber 谱分片的一般性描述？
• RQ2 能否通过 MGL 和 Landweber 本质性实现文献 [13] 中建议的利用 Conner-Floyd 同构计算 KGL 分片的策略？
• RQ3 在 motivic 设置下，上同调 Landweber 本质性是否对所有紧致谱（而不仅是强对偶化谱）成立？
• RQ4 在猜想下，MGL ∧ E 的分片是否同构于 Σ_T^i H ⊗ π_2i(MU)？
• RQ5 幻影映射在 motivic Landweber 谱的构造与唯一性中起什么作用？

主要发现

• 在 Voevodsky 猜想下，对于 Landweber 本质的 E，MGL ∧ E 的分片同构于 Σ_T^i H ⊗ π_2i(MU)。
• 对所有紧致 X 及所有满足 Landweber 本质性的 M*，映射 α_M*,X: MGL**X ⊗_MU* M* → E**X 是同构。
• 在 SH(S)_T 中，上同调 Landweber 本质性对所有紧致谱成立，而不仅限于强对偶化谱。
• 在猜想下，MGL 的零阶分片为 motivic Eilenberg-MacLane 分裂谱 H。
• 由 D_MGL,T 导出的 SH(S)_T 中的幻影映射在 SH(S) 中也是幻影的，从而确保 Landweber 谱在幻影等价下的唯一性。