[论文解读] Slowly Synchronizing Automata with Idempotent Letters of Low Rank

Mikhail V. Volkov|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

semigroups and automata theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一种由半群理论驱动的构造方法，可将任意同步自动机转换为具有两倍状态数的新自动机，并增加一个秩为 n/2 的幂等输入字母。该方法在保持同步性的同时，使重置阈值加倍，证明了具有低秩幂等字母的自动机可实现渐近最优的重置阈值 n²/2。该构造提供了一种系统化方法，用于生成具有特定结构特性的缓慢同步自动机。

ABSTRACT

We use a semigroup-theoretic construction by Peter Higgins in order to produce, for each even $n$, an $n$-state and 3-letter synchronizing automaton with the following two features: 1) all its input letters act as idempotent selfmaps of rank $\dfrac{n}2$; 2) its reset threshold is asymptotically equal to $\dfrac{n^2}2$. In the revised version a few inaccuracies (spotted by the anonymous referees of the previous version) have been removed and several relevant references have been added.

研究动机与目标

• 为解决非二元字母表和幂等输入字母的缓慢同步自动机已知实例稀缺的问题。
• 构建无限多个同步 n-自动机族，其重置阈值趋近于理论下限 (n−1)²。
• 证明具有秩为 n/2 的幂等字母的自动机可实现渐近最优的同步阈值。
• 提供一种系统化方法，用于生成具有高重置阈值的合适非二元同步自动机。

提出的方法

• 利用 Higgins 提出的半群理论构造方法，将给定的 DFA 转换为具有 2n 个状态和 k+1 个幂等输入字母的新自动机。
• 该变换保持了自动机的同步性质，并使其重置阈值变为原始自动机的两倍。
• 新自动机中每个输入字母在状态集上均作为秩为 n/2 的幂等自映射起作用。
• 该构造确保生成的自动机是合适的，即字母表中的所有字母对同步都是必不可少的。
• 该方法依赖于定义一个新的转移函数，通过增加一个新状态并修改转移关系，以保持幂等性和同步性。
• 正确性证明涉及证明新自动机仍保持同步性，且其重置阈值恰好为原始自动机的两倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过系统化构造生成具有低秩幂等字母和高重置阈值的非二元同步自动机？
• RQ2 具有 n 个状态和秩为 n/2 的幂等输入字母的自动机，其最大可能重置阈值是多少？
• RQ3 该变换是否保持了如合适性与强连通性等关键同步性质？
• RQ4 该构造是否可用于生成具有渐近最优阈值的无限多个缓慢同步自动机族？

主要发现

• 该构造对每个偶数 n，均能生成一个 n 个状态、3 个字母的同步自动机，其中所有输入字母均作为秩为 n/2 的幂等自映射起作用。
• 所构造自动机的重置阈值渐近等于 n²/2，与缓慢同步自动机的理论下限一致。
• 变换 H(A) 将任意输入自动机 A 的重置阈值加倍，同时保持其同步性质，并增加一个秩为 n/2 的幂等字母。
• 该方法生成的是合适自动机，即字母表中的每个字母对同步都是必不可少的，这在非二元设置中极为罕见。
• 该构造表明，具有低秩幂等字母的自动机可实现渐近最优的同步性能，挑战了在该约束下难以实现高重置阈值的传统假设。