[论文解读] Small bandwidth ${\mathbb C}^*$-actions and birational geometry

Gianluca Occhetta, Eleonora A. Romano+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文研究具有低带宽的 ${\mathbb{C}}^*$-作用的光滑射影概形，表明此类作用受双有理变换控制——具体而言，带宽为一时对应 Atiyah 翻转，带宽为三时对应 Cremona 变换。主要贡献在于对 Fano 概形上满足 $\rho_X=1$ 的带宽三 ${\mathbb{C}}^*$-作用进行了完整分类，证明其同构于如 $\mathbb{LG}(2,5)$、$\mathbb{G}(2,5)$、$S^{15}$ 和 $E_7(7)$ 等有理齐次空间，且其几何结构完全由 Severi 概形之间 Cremona 映射的化解决定。

ABSTRACT

In this paper we study smooth projective varieties and polarized pairs with an action of a one dimensional complex torus. As a main tool, we define birational geometric counterparts of these actions, that, under certain assumptions, encode the information necessary to reconstruct them. In particular, we consider some cases of actions of low complexity -- measured in terms of two invariants of the action, called bandwidth and bordism rank -- and discuss how they are determined by well known birational transformations, namely Atiyah flips and Cremona transformations.

研究动机与目标

• 通过将作用的不变量与已知的双有理变换相关联，理解具有 ${\mathbb{C}}^*$-作用的光滑射影概形的双有理几何。
• 对满足 $\rho_X=1$ 的 Fano 概形上带宽为一、二、三的 ${\mathbb{C}}^*$-作用进行分类。
• 证明带宽三作用由 Severi 概形之间的 Cremona 变换决定，从而实现对这类概形的完整分类。
• 建立概形的几何结构完全编码于作用的源与 sink 分量之间的双有理映射的结论。

提出的方法

• 引入 B 型 ${\mathbb{C}}^*$-作用的概念，其中源与 sink 均为除子，并定义 bordism 为所有不变除子在不动点分量中交于余维一的那些作用。
• 将带宽定义为 ${\mathbb{C}}^*$-作用在源与 sink 分量上关于线丛的权之差。
• 利用一般轨道诱导的双有理映射 $\psi: Y_- \dashrightarrow Y_+$，将作用与已知的双有理变换相关联。
• 对于带宽一，证明该作用源于一个满足 $\rho_Y=2$ 且具有两个射影丛的光滑射影概形 $Y$，从而产生一个翻转。
• 对于带宽三，通过沿 Severi 概形 $Y_1, Y_2$ 的 blowup 来化解双有理映射 $\psi$，并证明公共化解 $Y$ 满足 $-K_Y = m(H_1 + H_2)$。
• 利用 Cox 环的结构及极大环面的作用，证明当作用平衡且带宽为三时，概形 $X$ 为有理齐次空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 带宽较低的 ${\mathbb{C}}^*$-作用如何与标准双有理变换（如 Atiyah 翻转和 Cremona 映射）相关联？
• RQ2 能否通过双有理几何对满足 $\rho_X=1$ 的 Fano 概形上的带宽一 ${\mathbb{C}}^*$-作用进行完全分类？
• RQ3 带宽三 ${\mathbb{C}}^*$-作用的化解结构是怎样的？其与 Severi 概形有何关联？
• RQ4 在何种条件下，具有带宽三 ${\mathbb{C}}^*$-作用的 Fano 概形必为有理齐次空间？

主要发现

• 对于带宽一的光滑极化对 $(X, L)$ 满足 $\rho_X=1$ 且 $X \neq \mathbb{P}^n$，其作用完全由一个满足 $\rho_Y=2$ 且具有两个射影丛的光滑射影概形 $Y$ 决定，从而产生一个翻转。
• 对于带宽三，双有理映射 $\psi: Y_- \dashrightarrow Y_+$ 的化解涉及沿维数为 $2m-2$ 的 Severi 概形 $Y_1, Y_2$ 的 blowup，且 $\dim X = 3m$，其中 $m \in \{2,3,5,9\}$。
• 公共化解 $Y$ 的 canonical 除子满足 $-K_Y = m(H_1 + H_2)$，其中 $H_1, H_2$ 分别为两个 blowup 上的超平面丛的拉回。
• ${\mathbb{P}}^1$-丛 $X'$ 化解 $X$ 同构于 $\mathbb{P}(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(K_{Y_{-}'} - K_{X'}|_{Y_{-}'})$，表明 $X$ 由 Cremona 变换决定。
• 所有带宽三且满足 $\rho_X=1$ 的此类概形 $X$ 同构于有理齐次空间：$\mathbb{LG}(2,5)$、$\mathbb{G}(2,5)$、$S^{15}$ 和 $E_7(7)$。
• 该作用由定理 8.8 中列出的 Severi 概形中选择的不动点分量 $Y_1, Y_2$ 唯一确定，且 $L$ 为 $\operatorname{Pic}(X)$ 的 ample 生成元。