[论文解读] Small Gaps Between Primes I

D. A. Goldston, C. Y. Yıldırım|ArXiv.org|Apr 16, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 25

一句话总结

本文通过使用短除数和对素数k元组的高阶矩近似，证明了存在正比例的连续素数间隔不超过素数平均间距的1/4，结合经典矩问题并利用Bombieri-Vinogradov定理，证明了归一化素数间隔的极限下确界满足Δ ≤ 1/4，显著改进了先前的界限。

ABSTRACT

We use short divisor sums to approximate prime tuples and moments for primes in short intervals. By connecting these results to classical moment problems we are able to prove that a positive proportion of consecutive primes are within a quarter of the average spacing between primes.

研究动机与目标

• 建立连续素数间隔小于平均间距1/4的正比例。
• 将短除数和方法扩展至素数k元组的高阶矩，以改进间隔估计。
• 将素数k元组的分布与经典矩问题联系起来，推导出小间隔的定量界限。
• 改进关于Δ（归一化素数间隔极限下确界）的先前无条件界限。
• 探讨Elliott-Halberstam猜想对素数之间最小间隔的影响。

提出的方法

• 使用短除数和近似冯·曼戈尔特函数，以建模素数k元组及其相关性。
• 对这些除数和应用高阶矩分析，以检测短区间内素数的聚集。
• 将Bombieri-Vinogradov定理作为关键输入，控制算术级数中素数的分布范围。
• 使用筛法和矩估计，以界定除数和近似值的四阶矩。
• 应用涉及第二类斯特林数的组合恒等式，展开并估计多重线性形式。
• 利用可从奇异级数计算出的常数，推导出截断冯·曼戈尔特函数乘积的加权和的渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过短除数和对素数k元组进行高阶矩近似，能否得到更优的小素数间隔界限？
• RQ2 使用当前解析方法，Δ = liminf (p_{n+1} - p_n)/log p_n 的最佳可能上界是什么？
• RQ3 Elliott-Halberstam猜想如何影响连续素数之间的最小间隔？
• RQ4 Maier的异常密集区间方法能否与除数和技术结合，进一步改进界限？
• RQ5 经典矩问题在多大程度上可用于分析素数间隔的分布？

主要发现

• 对于任意固定的r ≥ 1和λ > (√r − 1/2)²，存在正比例的连续r元素数k元组满足p_{n+r} − p_n ≤ λ log p_n。
• 本文证明了无条件界限Δ ≤ 1/4，意味着存在无穷多对连续素数间隔不超过平均间距的1/4。
• 在Elliott-Halberstam猜想下，界限提升至Δ ≤ (3/2 − √2) ≈ 0.085786，小于1/11。
• 该方法通过分析短除数和的高阶矩，并将其与矩问题联系起来实现此结果。
• 证明依赖于Bombieri-Vinogradov定理，并建立了除数和近似值四阶矩的精确界限。
• 乘积的截断冯·曼戈尔特函数加权和的渐近公式包含可计算的有理数常数和奇异级数。