[论文解读] Small orders of Hadamard matrices and base sequences

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文更新了已知存在阶为4n的Hadamard矩阵的奇数n < 10,000的列表，证明了42个此前被认为是'坏'整数的Hadamard矩阵的存在性。其主要贡献是首次构造出基序列BS(40,39)，从而实现了长度为79的T-序列的存在性，并解决了n=97这一首个未决情况。

ABSTRACT

We update the list of odd integers n&lt;10000 for which an Hadamard matrix of order 4n is known to exist. We also exhibit the first example of base sequences BS(40,39). Consequently, there exist T-sequences TS(n) of length n=79. The first undecided case has the length n=97.

研究动机与目标

• 更新已知存在阶为4n的Hadamard矩阵的奇数n < 10,000的列表。
• 通过构造新的Hadamard矩阵，将此前未验证为'好'的42个'坏'整数转化为'好'整数。
• 通过构造首个BS(40,39)基序列，解决长度为79的T-序列的存在性问题。
• 减少Hadamard矩阵猜想中未决情况的数量，特别关注n=97的情况。

提出的方法

• 应用Mathon关于对称会议矩阵的定理，构造特定素数阶的Hadamard矩阵。
• 利用Yamada关于从已有矩阵推导新Hadamard矩阵的定理，特别是针对满足q ≡ 1或5 (mod 8)的素数q。
• 利用Miyamoto关于Williamson型矩阵与Hadamard矩阵的定理，将构造方法扩展至合数阶。
• 通过计算机搜索，首次构造出已知的BS(40,39)基序列，该构造直接意味着长度为79的T-序列的存在性。
• 结合正交设计OD(4d)与已知的T-序列及Williamson型矩阵，构建更大的Hadamard矩阵。
• 通过已知结果与计算验证，确认所需斜Hadamard矩阵与正交设计的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为此前被认为是'坏'的42个新奇数n < 10,000（此前未被验证为'好'）建立Hadamard矩阵的存在性？
• RQ2 BS(40,39)基序列的存在性是否意味着长度为79的T-序列及d=79时的正交设计OD(4d)的存在性？
• RQ3 能否通过基序列的新构造方法解决T-序列中n=97的未决情况？
• RQ4 如何结合关于会议矩阵、Williamson型矩阵与正交设计的已有定理，扩展已知Hadamard矩阵阶数的范围？
• RQ5 新基序列构造对Hadamard矩阵猜想中未决情况总数的整体影响是什么？

主要发现

• 本文首次构造出已知的BS(40,39)基序列，这是T-序列构造中的重大突破。
• 该构造证实了长度为79的T-序列的存在性，解决了正交设计研究中的一个关键开放问题。
• 作者成功将42个此前被认为是'坏'的整数转化为'好'整数，使n < 10,000范围内Hadamard矩阵阶数4n的未决情况减少至822个。
• 对于所有d ≤ 100，目前已知T-序列TS(d)存在，除非d=97，后者仍为未决状态。
• BS(40,39)的构造使得d=79时正交设计OD(4d)的存在性得以实现，支持进一步的矩阵构造。
• 本文通过结合已知定理与新的计算结果，确认了11个新素数阶n（包括787、823、883和8237）的Hadamard矩阵存在性。